Relações matriciais e invertibilidade de operadores do tipo de convolução em espaços de Lebesgue

Abstract

Na presente dissertação é realizado um estudo dos operadores do tipo de convolução actuando entre espaços de Lebesgue no que diz respeito às suas ligações a operadores de Wiener-Hopf. Considerando a relação de equivalência após extensão entre estes dois tipos de operadores, são analisadas propriedades de invertibilidade, nomeadamente, no que toca à existência e representação de inversos (generalizados). Com base na construção de relações daquele tipo, estabelecem-se várias ligações entre os inversos (generalizados) de ambos os operadores. Particular relevância é dada ao caso em que o operador do tipo de convolução é definido entre espaços de Lebesgue num intervalo limitado. Considere-se, adicionalmente, a generalização do caso anterior para a união finita de vários intervalos limitados e não limitados. Finalizamos o estudo apresentando, para uma classe de operadores do tipo de convolução, condições necessárias e suficientes, para a sua invertibilidade. Adicionalmente, sob essas condições, é obtido o inverso dos operadores.

In the present dissertation, is performed a study of convolution type operators acting between Lebesgue spaces in view of its connections with Wiener-Hopf operators. Considering the equivalence after extension relation between these two kinds of operators, their invertibility properties are analysed. Namely, in what concerns the existence and representation of (generalized) inverses. Based on the constrution of relations of the above type, several links between the (generalized) inverse of both operators are also obtained. Particular relevance is devoted to the case where the convolution type operator is defined between Lebesgue spaces on a finite interval. In addition, it is also cosidered the generalization of the previous case to the situation of a finite union of several finite and non-finite intervals. We finish the study by presenting, for a class of convolution type operators, necessary and sufficient conditions for their invertibility. Additionally, under these conditions, the inverse of the operators is obtained.