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http://hdl.handle.net/10773/12867
Título: | Multiplicity results for some classes of Schrödinger-Poisson systems |
Outros títulos: | Resultados de multiplicidade para sistemas do tipo Schrödinger-Poisson |
Autor: | Lirong Huang |
Orientador: | Rocha, Eugénio Alexandre Miguel |
Palavras-chave: | Matemática Equação de Schrödinger Equação de Poisson Sistemas não-lineares |
Data de Defesa: | 2014 |
Editora: | Universidade de Aveiro |
Resumo: | In this thesis, we study the existence and multiplicity of solutions of the
following class of Schr odinger-Poisson systems:
u + u + l(x) u = (x; u) in R3;
= l(x)u2 in R3;
where l 2 L2(R3) or l 2 L1(R3). And we consider that the nonlinearity
satis es the following three kinds of cases:
(i) a subcritical exponent with (x; u) = k(x)jujp2u + h(x)u (4 p <
2 ) under an inde nite case;
(ii) a general inde nite nonlinearity with (x; u) = k(x)g(u) + h(x)u;
(iii) a critical growth exponent with (x; u) = k(x)juj2 2u +
h(x)jujq2u (2 q < 2 ).
It is worth mentioning that the thesis contains three main innovations except
overcoming several di culties, which are generated by the systems themselves.
First, as an unknown referee said in his report, we are the rst authors
concerning the existence of multiple positive solutions for Schr odinger-
Poisson systems with an inde nite nonlinearity.
Second, we nd an interesting phenomenon in Chapter 2 and Chapter 3
that we do not need the condition
R
R3 k(x)ep
1dx < 0 with an inde nite noncoercive
case, where e1 is the rst eigenfunction of +id in H1(R3) with
weight function h. A similar condition has been shown to be a su cient
and necessary condition to the existence of positive solutions for semilinear
elliptic equations with inde nite nonlinearity for a bounded domain (see
e.g. Alama-Tarantello, Calc. Var. PDE 1 (1993), 439{475), or to be
a su cient condition to the existence of positive solutions for semilinear
elliptic equations with inde nite nonlinearity in RN (see e.g. Costa-Tehrani,
Calc. Var. PDE 13 (2001), 159{189). Moreover, the process used in
this case can be applied to study other aspects of the Schr odinger-Poisson
systems and it gives a way to study the Kirchho system and quasilinear
Schr odinger system.
Finally, to get sign changing solutions in Chapter 5, we follow the spirit of
Hirano-Shioji, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 137 (2007), 333, but
the procedure is simpler than that they have proposed in their paper. Nesta tese, estudamos a existência e a multiplicidade de soluções da seguinte classe de sistemas denominada de Schr odinger-Poisson: u + u + l(x) u = (x; u) in R3; = l(x)u2 in R3; onde l 2 L2(R3) ou l 2 L1(R3). Consideram-se não-linearidades que satisfazem um dos seguintes casos: (i) potências que envolvem um expoente sub-cr tico, da forma (x; u) = k(x)jujp2u + h(x)u, (4 p < 2 ), sendo k uma função com sinal indefinido e h uma função positiva; (ii) caso geral de uma não-linearidade indefi nida, da forma (x; u) = k(x)g(u) + h(x)u, sendo k uma função com sinal indefinido e h uma função positiva; (iii) potências que envolvem o expoente crí tico, da forma (x; u) = k(x)juj2 2u + h(x)jujq2u (2 q < 2 ). Convém salientar que esta tese tem três principais inovações, as quais ultrapassam dificuldades geradas pela natureza dos problemas estudados. Primeiro, como um relator anónimo referiu, este é o primeiro trabalho em que se trata a existência de várias soluções de sistemas de Schrödinger- Poisson com não-linearidade indefinida. Segundo, neste estudo encontrou-se um fen ómeno interessante, ver Capítulos 2 e 3, nomeadamente, não ser necess ária a condição R3 k(x)ep 1dx < 0 no caso indefinido e não-coercivo, sendo e1 a função associada ao primeiro valor próprio de + id em H1(R3) com peso h. Note-se que foi demonstrado que uma condi cão semelhante e condição necessária e suficiente na existência de solu cões positivas para equações elíticas semilineares com não-linearidades indefinidas em domínios limitados (ver e.g. Alama-Tarantello, Calc. Var. PDE 1 (1993), 439{475), ou ser uma condição suficiente na existência de soluções positivas para equações elíticas semilineares com não-linearidades indefinidas em RN (see e.g. Costa-Tehrani, Calc. Var. PDE 13 (2001), 159{189). Adicionalmente, o método utilizado pode ser utilizado para estudar outros aspetos dos sistemas de Schrodinger-Poisson, permite também estudar sistemas de Kirchho e sistemas de Schrodinger quasilineares. Por m, para obter soluções com mudança de sinal no Cap. 5, segue se a ideia de Hirano-Shioji, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 137 (2007), 333, mas o método utilizado é uma versão simplificada do método apresentado no artigo referido. |
Descrição: | Doutoramento conjunto em Matemática - Matemática e Aplicações (PDMA) |
URI: | http://hdl.handle.net/10773/12867 |
Aparece nas coleções: | UA - Teses de doutoramento DMat - Teses de doutoramento |
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