Existence results for elliptic equations with singular terms

Abstract

Esta dissertação estuda em detalhe três problemas elípticos: (I) uma classe de equações que envolve o operador Laplaciano, um termo singular e nãolinearidade com o exponente crítico de Sobolev, (II) uma classe de equações com singularidade dupla, o expoente crítico de Hardy-Sobolev e um termo côncavo e (III) uma classe de equações em forma divergente, que envolve um termo singular, um operador do tipo Leray-Lions, e uma função definida nos espaços de Lorentz. As não-linearidades consideradas nos problemas (I) e (II), apresentam dificuldades adicionais, tais como uma singularidade forte no ponto zero (de modo que um "blow-up" pode ocorrer) e a falta de compacidade, devido à presença do exponente crítico de Sobolev (problema (I)) e Hardy-Sobolev (problema (II)). Pela singularidade existente no problema (III), a definição padrão de solução fraca pode não fazer sentido, por isso, é introduzida uma noção especial de solução fraca em subconjuntos abertos do domínio. Métodos variacionais e técnicas da Teoria de Pontos Críticos são usados para provar a existência de soluções nos dois primeiros problemas. No problema (I), são usadas uma combinação adequada de técnicas de Nehari, o princípio variacional de Ekeland, métodos de minimax, um argumento de translação e estimativas integrais do nível de energia. Neste caso, demonstramos a existência de (pelo menos) quatro soluções não triviais onde pelo menos uma delas muda de sinal. No problema (II), usando o método de concentração de compacidade e o teorema de passagem de montanha, demostramos a existência de pelo menos duas soluções positivas e pelo menos um par de soluções com mudança de sinal. A abordagem do problema (III) combina um resultado de surjectividade para operadores monótonos, coercivos e radialmente contínuos com propriedades especiais do operador de tipo Leray- Lions. Demonstramos assim a existência de pelo menos, uma solução no espaço de Lorentz e obtemos uma estimativa para esta solução.

This dissertation study mainly three elliptical problems: (I) a class of equations, which involves the Laplacian operator, a singular term and a nonlinearity with the critical Sobolev exponent, (II) a class of equations with double singularity, the critical Hardy-Sobolev exponent and a concave term and (III) a class of equations in divergent form, which involves a singular term, a Leray-Lions operator, and a function defined on Lorentz spaces. The nonlinearities considered in problems (I) and (II), bring additional difficulties which, as the strong singularity at zero (so blow-up may occur) and the lack of compactness due to the presence of a Sobolev critical exponent (problem (I)) and a Hardy-Sobolev critical exponent (problem (II)). In problem (III), the singularity implies that the standard definition of weak solution may not make sense. Therefore is necessary to introduce a special notion of weak solution on open subsets of the domain. Variational methods and Critical Point Theory techniques are used to prove the existence of solutions in the two first problems. In problem (I), our method combines Nehari's techniques, Ekeland's variational principle, minimax methods, a translation argument and integral estimates of the energy level. In this case, we prove the existence of (at least) four nontrivial solutions where at least one of them is sign-changing. In problem (II), we prove the existence of at least two positive solutions and a pair of sign-changing solutions, using the concentration-compactness method and the mountain pass theorem. The approach in problem (III) combines a surjectivity result for monotone, coercive and radially continuous operators with special properties of Leray-Lions operators. We prove the existence of at least one solution in a Lorentz space and obtain an estimative for the solution.