Kuramoto model aplicado a um star graph e a redes scale-free

Abstract

O trabalho realizado teve como objetivo tentar compreender o efeito de hubs no Kuramoto model, para tal foram analisados dois sistemas diferentes. No primeiro, o Kuramoto model foi aplicado a um hub isolado, revelando-se que, para as distribuições analisadas, a frequência natural do oscilador central desempenha um papel decisivo no comportamento do sistema. Se a diferença entre esta frequência e o valor médio das frequências naturais dos vizinhos do oscilador central for menor que um certo valor, não existe transição de fase no sistema. No entanto, se a diferença for acima desse mesmo valor, o sistema passa a exibir uma transição de fase de primeira ordem. No segundo modelo, foi introduzida uma correlação linear entre a frequência natural do nodo e o seudegree e aplicado a redes Erdr˝os-Rénly e scale-free. Desta forma, foi possível criar uma rede em no caso de existirem hubs, estes apresentam frequências naturais distintas das dos seus vizinhos. Para estudar analiticamente o sistema foi usado annealed network approximation e posteriormente comparado com simulações. Os resultados apontam para a existência de uma transição de fase de segunda ordem para redes Erdr˝os-Rénly e scale-free com > 3 e a existência de uma transição de fase de primeira ordem para redes scale-free com 2 < < 3.

The aim of this work is to get some insight on the effect of hubs in Kuramoto model. In order to achieve our goal, we analyze two different systems. In the first system, we study the behavior of an isolated hub using analytic calculus and comparing with simulations. For the analyzed distributions, we find that the central oscillator plays a decisive role in the general behavior of the system. There is no phase transition in the system if the difference between the central oscillator natural frequency and the mean value of his neighbor’s natural frequencies is smaller than a certain value. In contrast, if this difference is above that value, the system displays a first-order phase transition. In the second system, we consider a linear correlation between the natural frequencies and the degrees of the nodes in Erdr˝os-Rénly and scale-free networks. The Hubs in this system have a natural frequency which are very different from the natural frequency of his neighbors. We use annealed network approximation and compare with our simulations. We demonstrate that the system undergoes a second-order phase transition for Erdr˝os-Rénly networks and scale-free networks with degree exponent > 3, and a first-order phase transition for scale-free networks with 2 < < 3.