Polinómios de Chebichev e teoria espetral

Abstract

Esta dissertação enquadra-se na teoria dos polinómios ortogonais e suas aplicações e tem como objetivo obter uma compreensão mais aprofundada destes polinómios. Começamos por fazer um estudo dos polinómios ortogonais suas definições, propriedades e teoremas nomeadamente a relação de recorrência a três termos, identidade de Christoffel-Darboux, zeros e a fórmula de quadratura de Gauss. Exploramos a conexão entre teoria dos polinómios ortogonais e as frações contínuas e com ajuda da teoria da Análise Complexa estudamos a função geradora para polinómios ortogonais clássicos. Fizemos um estudo dos polinómios de Chebychev do primeiro e segundo tipo e os do terceiro e quarto tipo, em seguida exploramos o teorema de Favard-Stone e o teorema de Markov com recurso a fórmula de inversão de Stieltjes para encontrar a medida para os polinómios de Chebichev do primeiro e segundo tipo e uma nova família de polinómios associados a matriz de Jacobi, constante e periódica de ordem dois na sua subdiagonal principal.

This dissertation fits into the theory of orthogonal polynomials and their applications and aims to obtain a more in-depth understanding of these polynomials. We begin by studying orthogonal polynomials, their definitions, properties and theorems, namely the three-term recurrence relation, Christoffel-Darboux identity, zeros and Gaussian quadrature formula. We explore the connection between the theory of orthogonal polynomials and continued fractions and with the help of the theory of Complex Analysis we study the generating function for classical orthogonal polynomials. We made a study of Chebichev polynomials of the first and second type and those of the third and fourth type, then we explored the Favard-Stone theorem and Markov’s theorem using the Stieltjes inversion formula to find the measure for the polynomials of Chebichev of the first and second type and a new family of polynomials associated with the Jacobi matrix, constant and periodic of order two in its main subdiagonal.