Faithful permutation representations of C-groups

Abstract

The study of regular objects, such as polytopes, and their symmetries is a subject that attracts researchers from different areas of mathematics, such as geometers and algebraists, but also researchers from other areas of knowledge such as chemistry, thanks to the high symmetry of the molecules. An abstract polytope is a structure that combinatoricaly describes a classical polytope (a generalization of polygons and polyhedra to higher dimensions). Abstract regular polytopes can be described as a poset, as an incidence geometry or as C-group with linear diagram. A hypertope was introduced as a polytope-like structure where its group of symmetries is a C-group however it does not need to have a linear diagram. Grünbaum’s problem, one of the classical problems of the theory of abstract polytopes, not yet completely solved, consists in the classification of locally toroidal polytopes. The problem is extensible to hypertopes of rank 4 with toroidal rank 3 residues. Locally toroidal hypertopes are constructed from toroidal regular hypermaps {4, 4}, {6, 3}, {3, 6} or (3, 3, 3). The groups of these toroidal regular hypermaps can be represented as faithful transitive permutation representation graphs, which can be then used either to classify locally toroidal polytopes or to construct new polytopes/hypertopes with toroidal residues. In this thesis, a classification of all the possible degrees of faithful transitive permutation representations of the toroidal regular hypermaps and of the locally toroidal regular polytopes of type {4, 4, 4} is given...

O estudo de objectos simétricos, como o caso dos polítopos, e das suas simetrias é um assunto que atrai a atenção de diferentes subáreas da Matemática, tal como Geometria e Álgebra, mas também noutras áreas do conhecimento científico, nomeadamente na Química, pela existência de um elevado grau de simetria nas moléculas. Os polítopos clássicos, a generalização dos polígonos e poliédros para outras dimensões, podem ser analisados do pontos de vista combinatório, dando origem aos polítopos abstratos. Os polítopos abstratos regulares podem ser descritos de diferentes formas, tais como um conjunto parcialmente ordenado, uma geometria de incidência ou ainda pelo seu grupo de simetrias, que é um C-grupo com diagrama linear. Os hipertopos foram introduzidos como uma estrutura semelhante aos polítopos, mas em que o seu grupo de simetrias é um C-grupo com diagrama não necessariamente linear. O problema de Grünbaum, um dos problemas clássicos da teoria dos politopos abstratos, ainda não totalmente resolvido, consiste na classificação de politopos localmente toroidais. Este problema é extensível a hipertopos de dimensão 4 com resíduos toroidais de dimensão 3. Hipertopos localmente toroidais são construidos a partir de hipermapas regulares toroidais {4, 4}, {6, 3}, {3, 6} ou (3; 3; 3). Pelo Teorema de Cayley, sabemos que qualquer grupo pode ser representado fielmente por um grupo de permutações. Assim podemos construir representações fiéis por grupos de permutações dos grupos destes hipermapas, que podem ser usados tanto para classificar politopos localmente toroidais como para construir novos politopos/hipertopos com resíduos toroidais. Nesta tese determinam-se todos os possíveis graus de representações fiéis por permutações dos hipermapas toroidais regulares e dos polítopos localmente toroidais do tipo {4, 4, 4}...