Zeros de polinómios: localização, fórmulas resolventes e aplicações

Abstract

Nesta dissertação apresentamos deduções das fórmulas resolventes das equações de graus inferiores a cinco e os trabalhos de Abel e de Galois, concorrentes para a prova da não existência de fórmulas congéneres para as equações de grau superior, usando radicais. Tratamos, usando fundamentos algébricos envolvendo o grau de uma extensão de um corpo, a impossibilidade de algumas construções geométricas usando apenas régua e compasso. Apresentamos ainda algumas regras para a determinação do número de zeros reais de um polinómio e sua localização. Sobre este assunto, propomos um guião de uma tarefa aplicada a alunos do 11º ano de Ciências e Tecnologias como aplicação/extensão de conteúdos abordados no Programa da disciplina de Matemática A do Ensino Secundário.

In this dissertation we present deductions of the resolvent formulas for the equations of degrees below five and the works of Abel and Galois, competing for the proof of the non-existence of similar formulas for higher degree, using radicals. Using algebraic foundations involving the degree of a field extension, we show, the impossibility of several geometric constructions with only ruler and compass. We also present some rules for computing the number of polynomial real roots as well as their location. On this subject, we propose a script of a task for students of the «11º ano, Ciências e Tecnologias» as an application/extension of the contents of the «Matemática A» course Program.