Linear semidefinite programming problems: regularisation and strong dual formulations

Abstract

Regularisation consists in reducing a given optimisation problem to an equivalent form where certain regularity conditions, which guarantee the strong duality, are fulfilled. In this paper, for linear problems of semidefinite programming (SDP), we propose a regularisation procedure which is based on the concept of an immobile index set and its properties. This procedure is described in the form of a finite algorithm which converts any linear semidefinite problem to a form that satisfies the Slater condition. Using the properties of the immobile indices and the described regularisation procedure, we obtained new dual SDP problems in implicit and explicit forms. It is proven that for the constructed dual problems and the original problem the strong duality property holds true.

Регуляризация задачи оптимизации состоит в ее сведении к эквивалентной задаче, удовлетворяющей условиям регулярности, которые гарантируют выполнение соотношений двойственности в строгой форме. В настоящей статье для линейных задач полуопределенного программирования предлагается процедура регуляризации, основанная на понятии неподвижных индексов и их свойствах. Эта процедура описана в виде алгоритма, который за конечное число шагов преобразует любую задачу линейного полубесконечного программирования в эквивалентную задачу, удовлетворяющую условию Слейтера. В результате использования свойств неподвижных индексов и предложенной процедуры регуляризации получены новые двойственные задачи полубесконечного программирования в явной и неявной формах. Доказано, что для этих двойственных задач и исходной задачи соотношения двойственности выполняются в строгой форме.