Representação multi-resolução de sinais baseada em splines e sobre-amostragem

Abstract

Com este trabalho pretendemos contribuir para o estudo dos seguintes problemas de representação e reconstrução de sinais: • Representações de sinais robustas e multi-resolução, baseadas em conjuntos não ortogonais de funções; • Estudo da estabilidade das representações; • Utilização de B-splines para a reconstrução; • Possibilidade de incorporar nos modelos sinais não limitados em frequência; • Controlo de erros no corpo dos reais. Examinaram-se os problemas com o objectivo de compreender melhor as dificuldades subjacentes e o desempenho de algoritmos para a sua solução numérica aproximada. A utilidade da representação em termos de bases de Riesz não ortogonais depende dos limites da bases. Determinaram-se esses limites para os casos de certas combinações lineares de B-splines. Concluiu-se que, para espaços polinomiais equivalentes, estes núcleos conduzem a representações mais estáveis do que as tradicionais B-splines. Neste contexto determinaram-se ainda as funções duais responsáveis pela projecção nestes espaços de sinais de L2 que não lhes pertençam. A reconstrução com base em conjuntos incompletos de dados foi colocada no contexto da análise multi-resolução. Foram apresentados alguns exemplos, dando especial atenção aos espaços deste tipo gerados a partir de B-splines e de certas combinações lineares destas. A redundância presente na transição do nível de resolução Vi para Vi-1 foi utilizada para criar representações sobreamostradas. Para atingir este objectivo determinaram-se funções de dupla escala interpoladoras e suas duais. Quando se pretende reconstruir sinais a partir de dados contaminados por ruído é conveniente que o número de condição da matriz a inverter esteja tão próximo da unidade quanto possível. Verificou-se que o número de condição desta matriz, quando se utilizam certos núcleos interpoladores baseados em combinações lineares de B-splines, é de valor inferior ao obtido com a tradicional sinc.

The problems around which this work turns are the following: • Robust multi-resolution representations based on non-orthogonal bases of functions; • The numerical stability of the representations; • The use of B-splines in reconstruction problems; • The possibility of dealing with signals that are not band-limited or smooth; • Error control codes in the real field. The problems were examined in order to understand the underlying difficulties and the performance and limitations of the algorithms that can be applied to their numerical solution. The usefulness of representations in terms of Riesz bases depends on the values of the Riesz bounds. These values were determined for certain linear combinations of B-splines. It was found that they lead to representations that are more stable than those based on the traditional B-splines. The dual functions that can be used to project L2 functions onto the underlying subspaces were also determined. The reconstruction based on incomplete data was rephrased in the context of multi-resolution analysis, and some examples were given, emphasising Bsplines and their linear combinations. The redundancy that results from the transition from Vi to Vi-1 was used to create oversampled representations, using interpolating scaling functions and their duals. In reconstruction problems from noisy data it is important to keep the condition number of the matrix to invert sufficiently small. It was found that the condition numbers of the reconstruction matrices based on B-splines were better than the condition numbers of the traditional matrices, based on the sinc kernel.