Cálculo com infinitésimos

Abstract

O principal objectivo deste trabalho é a construção duma abordagem ao Cálculo, usando infinitésimos, com características apropriadas à sua utilização, ao nível dos anos terminais do ensino secundário. Esta abordagem fundamenta -se no tratamento axiomático da Análise Não Standard de Edward Nelson. Com esta formulação procura -se contribuir para a identificação de propostas de ensino alternativas, capazes de melhorar os índices de sucesso escolar, nestes níveis de ensino, sem qualquer perda de rigor matemático. Começa -se com a apresentação de uma perspectiva histórica sobre a forma de como evoluiu o conceito de número a partir dos naturais, passando pelos irracionais, para culminar com os reais. Referem -se também alguns exemplos históricos em que o uso de raciocínios e métodos infinitesimais forneceu resultados de reconhecida utilidade prática, mas sempre questionados por carecerem de fundamento científico. Deste modo cria -se o enquadramento apropriado para se compreender a motivação para o aparecimento da Análise Não Standard. São expostas, interpretadas e comparadas as construções do corpo dos números reais por Dedekind, Cantor e a perspectiva axiomática de Hilbert. Faz-se uma descrição sumária da construção por ultrapotência dos números hiper -reais, estabelecendo - -se um paralelo entre esta construção e a Cantoriana dos números reais. Mencionam -se também algumas formas axiomáticas de tratamento da Análise Não Standard para melhor realçar as vantagens pedagógicas destas vias.

Le principal objectif de ce travail est la construction d´une approche au Calcul, en faisant usage d´infinitésimes, avec des caractéristiques conformes à son utilisation au niveau des années terminaux de l´enseignement lycéen et du bacharoléat. La fondamentation de cette approche c´est la théorie axiomatique de Edward Nelson en ce qui concerne l´Analyse Non Standard. Avec cette formulation on cherche à contribuer pour une identification de propositions d´enseignement alternatives, capables d´améliorer les indices de succès scolaire dans ces niveaux d´enseignement, sans aucune perte de rigueur mathématique. On commence avec la présentation d´une perspective historique sur la façon comme le concept de numéro a evolué à partir des naturels, passant par les irrationnels, en finissant aux réels. On fait référence aussi à quelques exemples historiques où l´usage de raisonements et méthodes infinitésimaux a donné des résultats d´utilité pratique renomée, mais toujours mis en question par manque de fondamentation scientifique. Ainsi il est créé l´enquadrement approprié pour qu´on comprenne la motivation pour l´apparition de l´Analyse Non Standard. On expose, on interprète et on compare les constructions du corps des nombres réels dues à Dedekind et à Cantor, et la perspective axiomatique d´Hilbert. On fait une description sommaire de la construction par ultrapuissance des numéros hyperréels, en établissant un parallélisme entre cette construction et celle Cantorienne des numéros réels. On considére aussi quelques formes axiomatiques du traitement de l´Analyse Non Standard pour mieux faire ressortir les avantages pédagogiques de ces voies.

The main goal of this dissertation is to build an approach to Calculus with Infinitesimals, adequate to students of the final years of high-school. Our construction is based on Edward Nelson’s axiomatic treatment of Non Standard Analysis. We also intend to help identify alternative ways of teaching mathematics, aimed at improving success rates among students without compromising mathematical soundness. We start with an historical perspective of the evolution of the concept of number, from natural to real, passing through irrational numbers; several examples of classical effective, albeit non rigourous, reasoning by means of infinitesimal or infinitely large numbers are presented, thereby establishing a framework for a better understanding of the reasons behind the creation of Non Standard Analysis. We discuss Dedekind’s and Cantor’s constructions of the real numbers as well as Hilbert’s axiomatization. An ultrapower construction of hyperreal numbers is briefly compared with the cantorian completion process. Several other axiomatic approaches towards Non Standard Analysis are also mentioned in order to underline their pedagogical advantages.