The non-existence of perfect 2-error correcting Lee codes of word length 7 over Z

Abstract

The Golomb-Welch conjecture states that there is no perfect r-error correcting Lee code of word length n over Z for n ³ 3 and r ³ 2. This problem has received great attention due to its importance in applications in several areas beyond mathematics and computer sciences. Many results on this subject have been achieved, however the conjecture has resisted, although its validity has been proved for some particular values of n and r, namely: 3 £ n £ 5 and r ³ 2; n = 6 and r = 2. Here we give a contribution for the proof of the Golomb-Welch conjecture which reinforces it, proving the non-existence of perfect 2-error correcting Lee codes of word length 7 over Z.

A conjetura de Golomb-Welch estabelece que não existem códigos de Lee perfeitos, corretores de r-erros, de palavras de comprimento n sobre Z para n ³ 3 e r ³ 2. Este problema tem recebido particular atenção devido à sua importância em aplicações em várias áreas que não apenas a da matemática e das ciências da computação. Apesar de terem sido obtidos muitos resultados no sentido de provar a conjetura, esta tem resistido estando estabelecida apenas para alguns valores particulares de n e r, nomeadamente: 3 £ n £ 5 e r ³ 2; n = 6 e r = 2. Nesta tese é dada uma contribuição que reforça a conjetura, sendo provada a não existência de códigos de Lee perfeitos, corretores de 2-erros, de palavras de comprimento 7 sobre Z.