Método da descida infinita

Abstract

Fermat teve um papel muito importante na Teoria dos N´umeros. Esta cont´em problemas muito dif´ıceis que fascinaram (e ainda fascinam) v´arios matem´aticos. Refira-se, em particular, as propriedades dos n´umeros inteiros positivos e dos n´umeros primos que despertaram interesse em Fermat. Sobre estes existem problemas bastante dif´ıceis de provar, mas que, contrariamente, possuem uma formula¸c˜ao bastante simples. Perante a dificuldade em demonstrar alguns destes resultados, Fermat desenvolveu uma t´ecnica de demonstra¸c˜ao, conhecida pela designa ¸c˜ao de M´etodo da Descida Infinita. Resumidamente, o m´etodo prova que certas propriedades ou rela¸c˜oes s˜ao imposs´ıveis para inteiros ao provar-se que, se fossem v´alidas para alguns n´umeros, seriam v´alidas para alguns n´umeros mais pequenos; usando o mesmo argumento, seriam v´alidas para alguns n´umeros ainda mais pequenos, e assim sucessivamente, o que ´e imposs´ıvel devido ao facto de que uma sequˆencia de n´umeros inteiros positivos n˜ao pode decrescer infinitamente. Fermat descreveu, em linhas gerais, o seu m´etodo, enunciando as v´arias proposi¸c˜oes nas quais o aplicou, numa carta dirigida a Carcavi em 1659. Era atrav´es de correspondˆencias por carta que Fermat partilhava as suas descobertas e nesta desafiou outros matem´aticos a aplicar o seu m´etodo na demonstra¸c˜ao de v´arios resultados. Esta tese teve por objetivo reproduzir as demonstra¸c˜oes de algumas proposi¸c˜oes referidas na carta a Carcavi, as quais Fermat diz ter demonstrado pelo M´etodo da Descida Infinita.

Fermat played a very important role in the Theory of Numbers. This area contains very difficult problems which fascinated (and still does) several mathematicians. Particularly, the properties of positive whole numbers and prime numbers which arouse Fermat’s interest. About these, there are problems which very hard to prove, but, in an opposite way, are very easy to state. In the presence of the difficulty to demonstrate some of these results, Fermat developed a demonstration technique known as the Method of Infinite Descent. In sum, the method proves that certain properties or relations are impossible for integers, proving that if they were valid to some numbers, would also be valid for some smaller numbers; using the same argument, would be valid for some even smaller numbers, and so on, which is impossible due to the fact that a sequence of positive whole numbers cannot indefinitely decrease. Fermat described his method in a letter to Carcavi in 1659, in general terms, expressing several propositions to which he applied it. It was by his letters that Fermat shared his discoveries and in this one he challenged other mathematicians to apply his method to give proofs of several results. The purpose of this thesis is to reproduce the demonstrations of some propositions referred in the letter to Carcavi, the ones that Fermat says have been demonstrated by the Method of Infinite Descent.