Computação simbólica em Maple no cálculo das variações

Abstract

Ao longo desta disserta c~ao vamos explorar o sistema de computa c~ao alg ebrica Maple 9.5, com a nalidade de identi car e ilustrar as suas potencialidades e fraquezas na area do C alculo das Varia c~oes: uma ar ea cl assica da Matem atica que estuda os m etodos que permitem encontrar valores m aximos e min mos de funcionais do tipo integral. Come camos por formular o problema elementar do C alculo das Varia c~oes e por apresentar a resolu c~ao de diversos problemas solucionados pela aplica c~ao das condi c~oes necess arias de Euler-Lagrange. Parte dos problemas variacionais s~ao normalmente resolvidos por recurso a estas condi c~oes, que s~ao, em geral, equa c~oes diferenciais de segunda ordem, n~ao lineares e de dif cil resolu c~ao. De seguida, determinamos a funcional integral para o problema cl assico da Braquist ocrona e, depois de apresentarmos a formula c~ao matem atica para o mesmo, mostramos como o podemos resolver sob o ponto de vista da teoria do C aculo das Varia c~oes e do Maple. A extremal para o problema da Braquist ocrona ser a apresentada na forma param etrica e ser a calculado o tempo de descida min mo para a curva encontrada. Finalmente, reformulamos o problema cl assico da Braquist ocrona restringindo a classe das fun c~oes admiss veis e veri camos que, apesar do problema ter cerca de trezentos anos, existem quest~oes sobre a Braquist ocrona para as quais parece, ainda, n~ao haver resposta.

Along this dissertation we are going to explore the computer algebra system Maple 9.5, with the purpose of identify and illustrate its potentialities and weaknesses in the area of the Calculus of Variations: a classical mathematical area which studies the methods to get the maximum and minimum values of integral functionals. We start by formulate the elementary problem of Calculus of Variations and by presenting the resolutions of some problems solved using the Euler-Lagrange necessary conditions. Most part of variational problems are usually solved with the help of this conditions, which are, in general, second order di erential equations, nonlinear and hard to solve. After we determinate the integral functional for the classical Brachistochrone problem and, after we present its mathematical formulation, we show how we can solve it by the point of view of the Calculus of Variations and using Maple. The extremal for Brachistochrone problem will be presented in the parametric form and the minimum time of descent for such curve will be calculated. Finally, we reformulate the Brachistochrone classical problem by restricting the class of admissible curves noticing that, although the problem is three hundred years old, there are questions about Brachistochrone for which answers seems to be unknown.