Sobre os filtros de Kautz e sua utilização na aproximação de sistemas lineares invariantes no tempo

Abstract

Seja H a função de transferência de um sistema linear incondicionalmente estável e causal, à qual correspondente a resposta impulsionaI h. Se não assumirmos nenhuma forma específica para H, ou, o que é equivalente, nenhum modelo específico para o sistema, levanta-se o problema de como aproximar essa função de transferência por uma outra de forma conhecida. Um problema que está relacionado com este e que tem sido estudado intensivamente nas últimas décadas consiste em assumir que H tem uma forma específica, vulgarmente uma fracção racional. O problema deixa neste caso de ser um problema de aproximação para passar a ser um de estimação (dos parâmetros de H). U ma maneira de resolver o problema da aproximação consiste em expandir H através de um conjunto completo e ortonormal de funções e utilizar apenas os primeiros termos dessa expansão para construir as aproximações de H. Nesta tese propomos e estudamos a aplicação das funções e sequências de Kautz a este problema. É considerado não só o problema de encontrar aproximações de H quando esta função é conhecida, isto é, quando h é conhecido, como também o problema mais geral de aproximar H quando são conhecidas a entrada e a saída do sistema. Neste último caso a aproximação é feita indirectamente através dos chamados filtros de Kautz. A medida utilizada para definir a qualidade da aproximação é em ambos os casos o erro quadrático (pesado no segundo caso pelo espectro de potência do sinal de entrada). O estudo do problema da aproximação com filtros de Kautz no caso geral é precedido pelo estudo de alguns casos particulares. O primeiro desses casos é o dos filtros de Laguerre, correspondente à utilização das funções e sequências de Laguerre no problema da aproximação de h. Este caso é estudado com um detalhe considerável, sendo apresentados alguns resultados originais de grande interesse prático. A constatação que os desenvolvimentos em série de Laguerre são equivalentes aos em série de Laurent levam-nos a sugerir a combinação de dois ou mais desses desenvolvimentos de modo a acelerar a convergência (para zero) do erro quadrático da aproximação. A ortonormalização das funções ou sequências envolvidas nesse tipo de aproximações conduzem- nos directamente às funções e sequências de Kautz, que por sua vez nos conduzem aos filtros de Kautz. Após o estudo de um outro caso particular simples dos filtros de Kautz, correspondente à combinação de dois filtros de Laguerre com pólos complexos conjugados, estudamos o caso geral, para o qual descobrimos uma formulação matemática bastante elegante.

Let H be the transfer function of a strictly stable, causal, and linear system, and let h be its impulse response. If one does not assume a specific form for H, or, what is the same, a specific mo deI for the system, the question arises as how to approximate that transfer function by another with a known formo A related problem, studied intensively in the last decades, consists in assuming that H has a known form, usually a rational fraction. In that case the problem becomes one of estimation (of the parameters of H) and not one of approximation. One way to solve the approximation problem consists in representing H by an orthonormal and complete set of functions and in using only the first terms of this representation to build the approximation of H In this thesis we propose and study the application of the Kautz functions and sequences to this problem. It is considered not only the problem of finding approximations of H when this function is known, that is, when h is known, but also the more general problem of approximating H when the input and output signals of the system are known. In this last case the approximation is performed by the so-called Kautz filters. In both cases the quality of the approximation is measured by its squared error, weighted by the power spectrum of the input signal in the second case. The study of the approximation problem in the general case is preceded by the study of some particular cases. The first of these cases is that of the Laguerre filters, corresponding to the usage of the Laguerre functions and sequences in the approximation of h. This case is studied with considerable detail, being presented some original results that are of great practical interest. The observation that the Laguerre series expansions are equivalent to Laurent series expansions lead us to suggest the combination of two or more of these expansions to improve the speed of convergence (to zero) of the squared error of the approximation. The orthonormalization of the functions or sequences involved in this kind of approximations lead us directly to the Kautz functions and sequences, which in turn lead us to the Kautz filters. After the study of another particular case, corresponding to the combination of two Laguerre filters with complex conjugate poles, the general case is studied, for which we have found a very elegant mathematical formulation. xiii