Multivariate contributions in the decomposition of a time series

Abstract

One of the goals of time series analysis is to extract essential features from the series for exploratory or predictive purposes. The SSA is a method used for this intent, transforming the original series into a Hankel matrix, also called a trajectory matrix. Its only parameter is the so-called window length. The decomposition into singular values of the trajectory matrix allows the separation of the series components since the structure in terms of singular values and vectors is somehow associated with the trend, oscillatory component, and noise. In turn, the visualization of the steps of that method is little explored or lacks interpretability. In this work, we take advantage of the results of a particular decomposition into singular values using the NIPALS algorithm to implement a graphical display of the principal components using HJ-biplots, naming the method SSA-HJ-biplot. It is an exploratory tool whose main objective is to increase the visual interpretability of the SSA, facilitating the grouping step and, consequently, identifying characteristics of the time series. By exploring the properties of the HJ-biplots and adjusting the window length to half the series length, rows and columns of the trajectory matrix can be represented in the same SSA-HJ-biplot simultaneously and optimally. To circumvent the potential problem of structural changes in the time series, which can make it challenging to visualize the separation of the components, we propose a methodology for the detection of change points and the application of the SSA-HJ-biplot in homogeneous intervals, that is, between change points. This detection approach is based on sudden changes in the direction of the principal components, which are evaluated by a distance metric created for this purpose. Finally, we developed another visualization method based on SSA to estimate the dominant periodicities of a time series through geometric patterns, which we call the SSA Biplot Area. In this part of the research, we implemented a package in R called areabiplot, available on the Comprehensive R Archive Network (CRAN).

Um dos objetivos da análise de séries temporais é extrair características essenciais da série para fins exploratórios ou preditivos. A Análise Espectral Singular (SSA) é um método utilizado para esse fim, transformando a série original em uma matriz de Hankel, também chamada de matriz trajetória. O seu único parâmetro é o chamado comprimento da janela. A decomposição em valores singulares da matriz trajetória permite a separação das componentes da série, uma vez que a estrutura em termos de valores e vetores singulares está de alguma forma associada à tendência, componente oscilatória e ruído. Por sua vez, a visualização das etapas daquele método é pouco explorada ou carece de interpretabilidade. Neste trabalho, aproveitamos os resultados de uma particular decomposição em valores singulares através do algoritmo NIPALS para implementar uma exibição gráfica das componentes principais usando HJ-biplots, nomeando-o método SSA-HJ-biplot. Trata-se de uma ferramenta de natureza exploratória e cujo principal objetivo é aumentar a interpretabilidade visual da SSA, facilitando o passo de agrupamento e, consequentemente, identificar características da série temporal. Ao explorar as propriedades dos HJ-biplots e ajustar o comprimento da janela para a metade do comprimento série, linhas e colunas da matriz trajetória podem ser representadas em um mesmo SSA-HJ-biplot simultaneamente e de maneira ótima. Para contornar o potencial problema de mudanças estruturais na série temporal, que podem dificultar a visualização da separação das componentes, propomos uma metodologia para a detecção de change points e a aplicação do SSA-HJ-biplot em intervalos homogéneos, ou seja, entre change points. Essa abordagem de detecção é baseada em mudanças bruscas na direção das componentes principais, que são avaliadas por uma métrica de distância criada para esse fim. Por fim, desenvolvemos um outro método de visualização baseado na SSA para estimar as periodicidades dominantes de uma série temporal por meio de padrões geométricos, ao que chamamos SSA Área biplot. Nesta parte da investigação, implementámos em R um pacote chamado areabiplot, disponível na Comprehensive R Archive Network (CRAN).