Fractional optimal control and biological applications

Abstract

In this PhD thesis, we derive a Pontryagin Maximum Principle (PMP) for fractional optimal control problems and analyze a fractional mathematical model of COVID– 19 transmission dynamics. Fractional optimal control problems consist on optimizing a performance index functional subject to a fractional control system. One of the most important results in optimal control is the Pontryagin Maximum Principle, which gives a necessary optimality condition that every solution to the optimization problem must verify. First, we study properties of optimality for a dynamical system described by distributed-order non-local derivatives associated to a Lagrangian cost functional. We start by proving continuity and differentiability of solutions due to control perturbations. For smooth and unconstrained data, we obtain a weak version of Pontryagin's Maximum principle and a sufficient optimality condition under appropriate convexity. However, for controls taking values on a closed set, we use needle like variations to prove a strong version of Pontryagin's maximum principle. In the second part of the thesis, optimal control problems for fractional operators involving general analytic kernels are studied. We prove an integration by parts formula and a Gronwall inequality for fractional derivatives with a general analytic kernel. Based on these results, we show continuity and differentiability of solutions due to control perturbations leading to a weak version of the maximum principle. In addition, a wide class of combined fractional operators with general analytic kernels is considered. For this later problem, the control set is a closed convex subset of L2. Thus, using techniques from variational analysis, optimality conditions of Pontryagin type are obtained. Lastly, a fractional model for the COVID--19 pandemic, describing the realities of Portugal, Spain and Galicia, is studied. We show that the model is mathematically and biologically well posed. Then, we obtain a result on the global stability of the disease free equilibrium point. At the end we perform numerical simulations in order to illustrate the stability and convergence to the equilibrium point. For the data of Wuhan, Galicia, Spain, and Portugal, the order of the Caputo fractional derivative in consideration takes different values, characteristic of each region, which are not close to one, showing the relevance of the considered fractional models. 2020 Mathematics Subject Classification: 26A33, 49K15, 34A08, 34D23, 92D30.

Nesta tese, derivamos o Princípio do Máximo de Pontryagin (PMP) para problemas de controlo ótimo fracionário e analisamos um modelo matemático fracionário para a dinâmica de transmissão da COVID-19. Os problemas de controlo ótimo fracionário consistem em otimizar uma funcional de índice de desempenho sujeita a um sistema de controlo fracionário. Um dos resultados mais importantes no controlo ótimo é o Princípio do Máximo de Pontryagin, que fornece uma condição de otimalidade necessária que toda a solução para o problema de otimização deve verificar. Primeiramente, estudamos propriedades de otimalidade para sistemas dinâmicos descritos por derivadas não-locais de ordem distribuída associadas a uma funcional de custo Lagrangiana. Começamos demonstrando a continuidade e a diferenciabilidade das soluções usando perturbações do controlo. Para dados suaves e sem restrições, obtemos uma versão fraca do princípio do Máximo de Pontryagin e uma condição de otimalidade suficiente sob convexidade apropriada. No entanto, para controlos que tomam valores num conjunto fechado, usamos variações do tipo agulha para provar uma versão forte do princípio do máximo de Pontryagin. Na segunda parte da tese, estudamos problemas de controlo ótimo para operadores fracionários envolvendo um núcleo analítico geral. Demonstramos uma fórmula de integração por partes e uma desigualdade Gronwall para derivadas fracionárias com um núcleo analítico geral. Com base nesses resultados, mostramos a continuidade e a diferenciabilidade das soluções por perturbações do controlo, levando a uma formulação de uma versão fraca do princípio do máximo de Pontryagin. Além disso, consideramos uma classe ampla de operadores fracionários combinados com núcleo analítico geral. Para este último problema, o conjunto de controlos é um subconjunto convexo fechado de L2. Assim, usando técnicas da análise variacional, obtemos condições de otimalidade do tipo de Pontryagin. Finalmente, estudamos um modelo fracionário da pandemia de COVID-19, descrevendo as realidades de Portugal, Espanha e Galiza. Mostramos que o modelo proposto é matematicamente e biologicamente bem colocado. Então, obtemos um resultado sobre a estabilidade global do ponto de equilíbrio livre de doença. No final, realizamos simulações numéricas para ilustrar a estabilidade e convergência do ponto de equilíbrio. Para os dados de Wuhan, Galiza, Espanha e Portugal, a ordem da derivada fracionária de Caputo em consideração toma valores diferentes característicos de cada região, e não próximos de um, mostrando a relevância de se considerarem modelos fracionários.