Contributos para a análise estatística de séries de contagem

Abstract

A análise das séries temporais de valores inteiros tornou-se, nos últimos anos, uma área de investigação importante, não só devido à sua aplicação a dados de contagem provenientes de diversos campos da ciência, mas também pelo facto de ser uma área pouco explorada, em contraste com a análise séries temporais de valores contínuos. Uma classe que tem obtido especial relevo é a dos modelos baseados no operador binomial thinning, da qual se destaca o modelo auto-regressivo de valores inteiros de ordem p. Esta classe é muito vasta, pelo que este trabalho tem como objectivo dar um contributo para a análise estatística de processos de contagem que lhe pertencem. Esta análise é realizada do ponto de vista da predição de acontecimentos, aos quais estão associados mecanismos de alarme, e também da introdução de novos modelos que se baseiam no referido operador. Em muitos fenómenos descritos por processos estocásticos a implementação de um sistema de alarmes pode ser fundamental para prever a ocorrência de um acontecimento futuro. Neste trabalho abordam-se, nas perspectivas clássica e bayesiana, os sistemas de alarme óptimos para processos de contagem, cujos parâmetros dependem de covariáveis de interesse e que variam no tempo, mais concretamente para o modelo auto-regressivo de valores inteiros não negativos com coeficientes estocásticos, DSINAR(1). A introdução de novos modelos que pertencem à classe dos modelos baseados no operador binomial thinning é feita quando se propõem os modelos PINAR(1)T e o modelo SETINAR(2;1). O modelo PINAR(1)T tem estrutura periódica, cujas inovações são uma sucessão periódica de variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson, o qual foi estudado com detalhe ao nível das suas propriedades probabilísticas, métodos de estimação e previsão. O modelo SETINAR(2;1) é um processo auto-regressivo de valores inteiros, definido por limiares auto-induzidos e cujas inovações formam uma sucessão de variáveis independentes e identicamente distribuídas com distribuição de Poisson. Para este modelo estudam-se as suas propriedades probabilísticas e métodos para estimar os seus parâmetros. Para cada modelo introduzido, foram realizados estudos de simulação para comparar os métodos de estimação que foram usados.

The analysis of count processes has become an important area of research in the last two decades partially because of its wide applicability in different fields of science. Among the most successful integer-valued time series models proposed in the literature, we mention the binomial thinning based models class, which includes the autoregressive integer valued process of order p as a special case. This work aims to contribute to the statistical analysis of counting processes. In particular, the purpose of this thesis is two-folded: firstly, it explores the issue of event prediction associated with alarm mechanisms and secondly, it introduces two new models based on the binomial thinning operator. In many phenomena described by stochastic processes, the implementation of an alarm system becomes fundamental to predict the occurrence of future events. In this work we develop an alarm system to predict whether a count process will upcross a certain level and give an alarm whenever the upcrossing level is predicted. We consider count models with parameters being functions of covariates of interest and varying on time. Classical and Bayesian methodologies are applied for producing optimal alarm systems. Both methodologies are illustrated and their performance compared through a simulation study. As an example an empirical application to a set of data concerning the number of sunspot on the surface of the sun is presented. Within the binomial thinning based models class two new models are proposed and studied. The periodic integer-valued autoregressive model of order one with period T, driven by a periodic sequence of independent Poissondistributed random variables, is studied in some detail. Basic probabilistic and statistical properties of this model are discussed. Moreover, parameter estimation and prediction are topics also addressed. A class of self-exciting threshold integer-valued autoregressive models, driven by independent Poisson-distributed random variables, is also introduced. Basic probabilistic and statistical properties of this class of models are discussed. Moreover, parameter estimation is also addressed. Specifically, the methods of estimation under analysis are the least squares-type and likelihood-based ones. Their performances are compared through a simulation study.