Problema inverso de Galois: da irredutibilidade de Hilbert ao método de rigidez

Abstract

Seja E : K uma extensão de um corpo arbitrário K. Segundo a Teoria dos Corpos e Teoria Clássica de Galois, se E : K for uma extensão de Galois, podemos chegar ao grupo (fiito) de automorfismos de E que fixam os elementos de K e trocam os elementos de E nK, o dito grupo de Galois da extensão, GalK(E). No entanto, podemos pensar no Problema Inverso: “Será que todo o grupo finito é isomorfo a um grupo de Galois relativo a uma extensão sobre um corpo arbitrário?". Existem certos casos em que a resposta a esta pergunta é afirmativa (C(t), R(t) e Q(t) - quando t é um elemento transcendente [uma variável]). Porém, ainda não se conseguiu provar que tal acontece para todos os grupos finitos sobre o corpo dos número racionais, Q (Problema Inverso Clássico), ou sobre o corpo das funções racionais em t com coeficientes racionais, Q(t) (Problema Inverso Regular). Neste texto, vamos começar por introduzir alguns conceitos e resultados relativos _a Teoria dos Corpos e á Teoria Clássica de Galois. Posteriormente, vamos seguir as passadas de Hilbert e garantir que os grupos simétricos e alternantes são realizáveis como grupos de Galois sobre Q. Por _ultimo, misturamos a Teoria dos Grupos com alguma Topologia e vamos verificar que existem mais grupos finitos que são solução do Problema Clássico e do Problema Regular. Em particular, abordaremos o caso dos grupos abelianos e alguns casos dos grupos esporádicos. Para fazer um ponto de comparação com o método de Hilbert (e apenas para isso), vamos voltar a analisar o caso dos grupos simétricos e alternantes.

Let E : K be an extension of an arbitraryfield K. According to Field Theory and Galois Theory, if E : K is a Galois extension, we can always find the (finite) group of automorphisms in E that fix every element of K and exchange the elements of E n K, the so called Galois group of E : K, GalK(E). Nonetheless, we may also think in the Inverse Problem: “Can we assure that every finite group is isomorphic to a Galois group of a Galois extension of an arbitrary field?". There are some cases in which the answer for this question is positive (C(t), R(t) and Q(t) - where t can be considered as a transcendental element [a variable]). Although, and even if there are some known afirmative cases, the question remains open for the field for rational numbers, Q (Classic Inverse Problem), and for the field of rational functions in t with rational coeficients, Q(t) (Regular Inverse Problem). In this work, we will start with some results and definitions regarding Field Theory and Galois Theory. After that, we will follow Hilbert steps and prove that symmetric groups and alternating groups are, in fact, realizable over Q. Last, but not least, we will mix Group Theory with some Topology to verify that there are other finite groups answering this question afirmatively for the Classic and Regular Problems. Particularly, we will show that abelian groups and some sporadic groups can be realized as Galois groups over Q(t) and Q. Just for the sake of fun, we will also revisit the case for symmetric groups and alternating groups (using the new methodology).