Métodos robustos em geoestatística

Abstract

O objectivo principal da presente tese consiste no desenvolvimento de estimadores robustos do variograma com boas propriedades de eficiência. O variograma é um instrumento fundamental em Geoestatística, pois modela a estrutura de dependência do processo em estudo e influencia decisivamente a predição de novas observações. Os métodos tradicionais de estimação do variograma não são robustos, ou seja, são sensíveis a pequenos desvios das hipóteses do modelo. Essa questão é importante, pois as propriedades que motivam a aplicação de tais métodos, podem não ser válidas nas vizinhanças do modelo assumido. O presente trabalho começa por conter uma revisão dos principais conceitos em Geoestatística e da estimação tradicional do variograma. De seguida, resumem-se algumas noções fundamentais sobre robustez estatística. No seguimento, apresenta-se um novo método de estimação do variograma que se designou por estimador de múltiplos variogramas. O método consiste em quatro etapas, nas quais prevalecem, alternadamente, os critérios de robustez ou de eficiência. A partir da amostra inicial, são calculadas, de forma robusta, algumas estimativas pontuais do variograma; com base nessas estimativas pontuais, são estimados os parâmetros do modelo pelo método dos mínimos quadrados; as duas fases anteriores são repetidas, criando um conjunto de múltiplas estimativas da função variograma; por fim, a estimativa final do variograma é definida pela mediana das estimativas obtidas anteriormente. Assim, é possível obter um estimador que tem boas propriedades de robustez e boa eficiência em processos Gaussianos. A investigação desenvolvida revelou que, quando se usam estimativas discretas na primeira fase da estimação do variograma, existem situações onde a identificabilidade dos parâmetros não está assegurada. Para os modelos de variograma mais comuns, foi possível estabelecer condições, pouco restritivas, que garantem a unicidade de solução na estimação do variograma. A estimação do variograma supõe sempre a estacionaridade da média do processo. Como é importante que existam procedimentos objectivos para avaliar tal condição, neste trabalho sugere-se um teste para validar essa hipótese. A estatística do teste é um estimador-MM, cuja distribuição é desconhecida nas condições de dependência assumidas. Tendo em vista a sua aproximação, apresenta-se uma versão do método bootstrap adequada ao estudo de observações dependentes de processos espaciais. Finalmente, o estimador de múltiplos variogramas é avaliado em termos da sua aplicação prática. O trabalho contém um estudo de simulação que confirma as propriedades estabelecidas. Em todos os casos analisados, o estimador de múltiplos variogramas produziu melhores resultados do que as alternativas usuais, tanto para a distribuição assumida, como para distribuições contaminadas.

The aim of this thesis is to develop robust estimators of the variogram with a high efficiency under Gaussian processes. The variogram is a fundamental tool in Geostatistics, since it models the process dependence structure and it affects decisively the prediction of unobserved values of the spatial random process. The usual variogram estimators are not robust in the sense that they are affected by small departures from the model assumptions. That is an important issue, since good properties of the methods may fail in the neighborhoods of the assumed model. The present work starts with a review of the main concepts on Geostatistics and of the traditional process used in the estimation of the variogram. Also the fundamentals of robust estimation are summarized in the first part of the thesis. Afterwards, a new variogram estimation method is developed, herein called multiple variograms estimator. The method consists of four steps, alternating robustness and efficiency as main criteria. A few robust discrete estimates of the variogram are computed for adjusting the variogram model by least squares. Both procedures are repeated several times, creating multiple variogram estimates. The final estimate is the median of the previous variogram estimates. Thus, the proposal provides an estimator that has good robustness properties and good efficiency for Gaussian processes. The research revealed that when discrete estimates are used in the first stage of the variogram estimation, the parameters of the model may be unidentifiable. It was possible to establish mild conditions that assure the identifiability of the parameters of the most popular variogram models. The variogram estimation is always conducted under the assumption that the process mean is stationary. Objective methods that can evaluate that assumption are of extreme importance. Hence, this work recommends a statistical test for verifying the mean stationarity condition. The statistic that is used in the test is an MM-estimator, which has an unknown distribution under the assumed dependence structure. For approximating the distribution of the estimator, an adequate spatial bootstrap version is proposed which can deal with spatial dependent observations. Finally, the multiple variograms estimator was evaluated from a practical point of view. The work includes a simulation study that confirmed the established properties. In all the considered cases, the multiple variograms estimator performed better than the usual variogram estimators, either considering the assumed distribution or the contaminated distributions.