Foundations of nonstandard non-linear analysis

Abstract

Esta tese insere-se na área da análise não-standard não linear. São dois os objectivos principais deste trabalho. Um deles envolve diferenciabilidade de funções e o outro geometria diferencial. O nosso trabalho é dividido em três partes. Na primeira apresentamos uma caracterização não-standard de conjuntos compactos conexos em espaços métricos. Na segunda parte exibimos alguns resultados envolvendo o teorema do valor médio para espaços normados. De seguida é apresentado um novo tipo de diferenciabilidade, a mu-diferenciabilidade. Fazemos um estudo exaustivo das propriedades básicas deste tipo de derivada, nomeadamente a regra em cadeia, o teorema do valor médio, o teorema de Taylor e o teorema da função inversa. A última parte é dedicada à geometria diferencial. Primeiro em espaços de dimensão finita, com uma caracterização não-standard de cúspides e de superfícies regulares. Também apresentamos uma construção de uma curva interna que seria uma solução ideal para um problema de máxima resistência. Por último apresentamos um estudo de variedades diferenciáveis em espaços de Banach. O análogo de espaço tangente, derivada de uma função e derivadas direccionais são apresentados.

This thesis presents a study of non-linear nonstandard analysis. There are two main goals of this study. One of them concerns differentiability of functions and the other one is differential geometry. Our study is divided in three parts. The first part contains a nonstandard characterization of connected compact sets in metric spaces. In the second part we give some results related to the mean value theorem in normed spaces. Then we describe a new type of differentiability, the mudifferentiability. We carry out an extensive study of the basic properties of this differentiation, namely the chain rulle, the mean value theorem, Taylor’s theorem and the inverse mapping theorem. The final part is devoted to differential geometry. First in finite dimensional spaces, with nonstandard characterizations of cusps and regular surfaces. We also construct an internal curve which would be an ideal solution for a problem of maximum resistance. Finally we deal with differentiable manifolds modeled on Banach spaces. The analogous of tangent bundle, differential of a function and directional derivatives are given.