Regularidade Lipschitziana dos minimizantes no cálculo das variações e controlo óptimo

Abstract

Apresentamos um estudo unificado da regularidade lipschitziana dos minimizantes, para o problema básico do Cálculo das Variações (CV) e suas generalizações. Numa primeira parte, de sintese, introduzimos o problema; damos a sua condição necessária clássica de minimalidade - a equação de Euler-Lagrange; formulamos o teorema da existência de Tonelli; e demonstramos vários resultados de regularidade (incluindo a descrição do fenómeno de Lavrentiev). Na segunda parte, usamos a abordagem do Controlo Óptimo, para obter um novo resultado de regularidade lipschitziana para os minimizantes do problema básico do CV. A mesma estratégia é depois estendida a problemas com derivadas de ordem superior.

In this dissertation problems of the Calculus of Variations (CV) are studied, and in particular the questions of lipschitzian regularity of minimizers are addressed. The work consists of two main parts. Part I is a survey: we start with the basic problem of the CV, then we introduce Euler-Lagrange necessary minimality condition and formulate classical existence and regularity results for minimizers, including the Lavrentiev phenomenon. In Part I1 we utilize an ap proach of Optimal Control theory, to obtain a new result regarding lipschitzian regularity of minimizers for the basic problem of the Calculus of Variations, and for the problems with higher order integrands.