Estudo e unificação de uma classe de problemas de amostragem interpolação e extrapolação

Abstract

Sejam X e Y dois conjuntos e f uma função definida em X com valores em Y . Seja U um subconjunto de X no sentido estrito. Dado o conjunto C constitu´ıdo pelos pares {x, f(x)} tais que x 2 X \ U, o que se pode dizer acerca de f? Em que condições C determina f? Existem diversas motivações de ordem prática para este problema. Suponhamos, por exemplo, que a função f descreve uma qualquer grandeza física. A natureza exacta dessa grandeza não tem qualquer importância para os nossos fins, pelo que a ignoraremos. Aquilo que queremos sublinhar é a frequente impossibilidade de proceder à medicação completa dessa grandeza, isto é, determinar os valores de f para todos os pontos do seu dominio. Para clarificar esta afirmação, imaginemos por um momento que a grandeza fisica varia em função do tempo. É óbvio que o processo de medida terá de ter duração finita, o que implica que os valores de f só possam ser conhecidos, quando muito, num conjunto limitado e fechado. O complemento deste conjunto corresponde ao conjunto U do problema abstracto que acima enunciámos. Neste trabalho estuda-se um caso particular desse problema, e que se caracteriza pela existência de um operador linear B tal que f = Bf. O método que escolhemos para chegar à solução é de extrema simplicidade, e parte da decomposição f = u + v, em que o suporte de u é U, e o de v é X \ U. Note-se que v é uma função conhecida. Como B é linear, a relação f = Bf implica u = Bu + h, onde h = Bv − v ´e uma função conhecida. Esta é uma equação funcional de segunda espécie para u. Em muitos casos, pode tirar-se partido da teoria existente para a solução do problema. Antes de passarmos ao estudo do problema geral examinaremos alguns casos particulares com interesse teórico e prático, relativos à interpolação, extrapolação e amostragem de uma classe de funções de grande importância prática. Apresentaremos resultados válidos quer em espaços de Hilbert de dimensão finita e infinita, quer em espaços de Banach.

Denote by X and Y two sets and consider a function f defined on X and with values in Y . Let U be a proper subset of X. Consider the set C of all pairs {x, f(x)} such that x 2 X \ U. What does C imply about f? Under what circumstances does C determine f? The function f can be thought of as a model of some physical quantity, whose exact nature is unimportant. Note that f itself is partially known, since only the pairs {x, f(x)} with x 2 X \ U are in C. This could result, for example, from practical constraints imposed by the instrumentation. This work is concerned with a particular case of this reconstruction problem, in which there is a linear operator B such that f = Bf for every f belonging to X. The approach taken towards the solution of the problem is extremely simple, and springs from the decomposition f = u + v, where the support of u is U, and the support of v is the complement of U in X. Note that v is a known function. The equation f = Bf implies, by linearity, u = Bu + h, where h = Bv − v is a known function. This is a functional equation of the second kind for the unknown function u. If B is compact, the original reconstruction problem can be solved using the particularly elegant theory of second kind equations with compact operators. We will study the general reconstruction problem in Banach spaces, as well as in finite and infinite dimensional Hilbert spaces. Before dealing with the general case we will consider a number of special problems which suggest the general theory, and provide a hint of its importance and practical interest. We will see that our approach allows a unified treatment of a number of reconstruction problems of theoretical an practical importance, in interpolation, extrapolation and sampling theory.