Riemann–Hilbert problems in the theory of matrix orthogonal polynomials

Abstract

In this thesis, our objective is to expand upon existing notions and results, transitioning from scalar to matrix concepts in a highly versatile framework. Our exploration begins by delving into the realm of semiclassical matrix orthogonal polynomials with respect to a regular matrix weight function that satisfies a Pearson equation. Through our research, we unveil various characterizations that shed light on these polynomials. Furthermore, by imposing certain restrictions on the degrees of polynomials involved in the Pearson equation associated with the weight function, we are able to establish characterizations for the semiclassical matrix orthogonal polynomials and corresponding second kind functions. Here, special attention was given to the classical case known in the literature as families of matrix orthogonal polynomials Hermite, Laguerre, Jacobi and Bessel type. Our research is motivated by a previous study in [15], which focused on matrix weight functions of Hermite type. Building upon this foundation, we are excited to expand our investigation by introducing matrix weight functions of Laguerre, Jacobi, and Bessel types (cf. [11, 12, 13, 14]). To the best of our knowledge, these definitions are the most comprehensive and, when combined with the Hermite type, encompass all examples documented in the literature. We set up Riemann–Hilbert problems for these families of matrix orthogonal polynomials. This approach proved to be an excellent technique that allows us to obtain differential properties for these families of matrix orthogonal polynomials, as well as for the corresponding functions of the second kind. Therefore, we established first-order structural formulas as well as second order differential relations for these families. The final segment of this thesis is dedicated to the applications of these families to second-order matrix differential operators as well as discrete Painlevé matrix equations. The second order differential relations we found collapse, when considered with their scalar analogue, into the known differential equations for the Hermite, Laguerre, Jacobi and Bessel families of orthogonal polynomials. However, we were able to obtain analogous relations for the families of functions of the second type associated with these families of scalar orthogonal polynomials. Furthermore, we find the significant Painlevé equations that govern the matrix coefficients of the recurrence relation of certain semiclassical families.

O nosso objectivo nesta tese é o de expandir, até onde for possível, noções e resultados da teoria de polinómios escalares até à dos polinómios matriciais. O nosso estudo começa por investigar o caso de sucessões de polinómios ortogonais matriciais de tipo semiclássico seguindo tão próximo quanto possível o que se sabe no caso escalar, tendo-se conseguido alguns resultados neste sentido. Além disso, ao impor certas restrições aos graus dos polinómios envolvidos na equação de Pearson associada à função peso, estabelecemos caracterizações para os chamados polinómios ortogonais semiclássicos matriciais bem como para as correspondentes funções de segunda espécie matriciais que lhes estão associadas. Demos particular atenção ao caso clássico conhecido na literatura como famílias de polinómios ortogonais matriciais tipo Hermite, Laguerre, Jacobi e Bessel. Esta monografia teve como motivação um estudo anterior em [15], que se concentrou em funções peso e polinómios ortogonais matriciais tipo Hermite. Tendo por base esse trabalho, concentramos a investigação nos pesos matriciais tipo Laguerre, Jacobi ou Bessel (cf. [11, 12, 13, 14]). Estes exemplos incluem (quando considerados juntamente com o caso Hermite), pelo menos no que nos é dado a conhecer, as famílias estudadas na literatura. Estabelecemos problemas de Riemann–Hilbert para estas famílias de polinómios ortogonais matriciais. Esta abordagem manifestou-se como uma óptima técnica que permite obter propriedades diferenciais para estas famílias de polinómios ortogonais matriciais, bem como para as correspondentes funções de segunda espécie. Assim sendo estabelecemos fórmulas de estrutura de primeira ordem bem como relações diferenciais de segunda ordem para esta famílias. O segmento final desta tese está dedicado às aplicações destas famílias a operadores diferenciais matriciais de segunda ordem bem como a equações matriciais de Painlevé discretas. As relações que encontramos colapsam, quando consideradas com o seu análogo escalar, nas equações conhecidas para as famílias de polinómios ortogonais de Hermite, Laguerre, Jacobi e Bessel. Conseguimos ainda obter relações análogas para as famílias de funções de segundo tipo associadas a estas famílias de polinómios ortogonais escalares. Além disso, encontramos equações Painlevé que governam os coeficientes matriciais da relação de recorrência de certas famílias semiclássicas.