Soluções generalizadas para problemas L-Q singulares

Abstract

Este trabalho trata os problemas lineares-quadráticos de controlo óptimo (problemas L-Q) ditos "singulares". É sabido que existem problemas deste tipo cujo custo tem ínfimo finito sobre o conjunto das soluções admissíveis mas não tem mínimo nesse conjunto, pelo que o problema não tem solução óptima. Nestes casos é desejável obter uma caracterização das sucessões minimizantes (i.e., as sucessões de soluções admissíveis tais que a sucessão dos custos correspondentes converge para o ínfimo do problema). A nossa solução para este problema consiste em definir um espaço de "controlos generalizados", mais amplo do que L2[0, T], ao qual, tanto o funcional custo como a aplicação input-trajectória podem ser extendidos por continuidade. Assim, obtém-se um "problema extendido" que tem mínimo sempre que o ínfimo do problema original for finito e as sucessões minimizantes são exactamente aquelas que convergem numa certa topologia para alguma "solução óptima generalizada". O espaço dos controlos generalizados é um subespaço do espaço de Sobolev H-r, e as trajectórias generalizadas correspondentes são funções generalizadas de classe H-(r-1), em que r é a ordem de singularidade do problema, definida no trabalho. Então, as trajectórias óptimas generalizadas podem não só ser descontínuas, como já foi assinalado por outros autores, mas podem também conter termos distribucionais, o que implica a existência de problemas cujas sucessões minimizantes são necessariamente ilimitadas, num sentido que definimos. O nosso trabalho combina duas abordagens distintas: A primeira é baseada numa transformação que permite representar as trajectórias e o custo em função de integrais indefinidos do controlo. Esta abordagem permite obter a extensão do problema à classe dos "controlos generalizados", provando que uma tal extensão existe sempre que a segunda variação do problema original for semidefinida positiva nalgum subespaço de codimensão finita em L2 [0, T]. A segunda abordagem é baseada na chamada teoria das restrições de Dirac-Bergmann que, na sua versão original, é um método para o cálculo de soluções extremais de problemas singulares de cálculo de variações, que aqui se adapta ao cálculo de soluções óptimas de um problema L-Q. Esta abordagem permite obter uma caracterização geométrica das soluções óptimas generalizadas. Mostra-se que as duas abordagens estão estreitamente ligadas, sendo em larga medida redutíveis uma à outra. Caracterizam-se os problemas L-Q que têm ínfimo finito, prova-se que esses problemas têm solução óptima generalizada e são dadas condições necessárias e suficientes para a unicidade da solução óptima generalizada. Mostra-se como qualquer solução óptima generalizada pode ser calculada, quer em open loop, através do princípio de máximo de Pontryagin, quer sob a forma de feedback, através da solução de uma equação diferencial de Riccati apropriada. Mostra-se também como é que se pode construir uma sucessão minimizante, constituída por soluções admissíveis com grau de diferenciabilidade arbitrário, que aproxime uma dada solução óptima generalizada. Descreve-se a estrutura das soluções óptimas generalizadas. Mostra-se que existe uma extensão "natural" da teoria das restrições de Dirac-Bergmann, que permite definir um ''fluxo Hamiltoniano generalizado" cujas trajectórias são funções generalizadas de classe H-(r-1). Prova-se que a projecção no espaço de estados destas trajectórias Hamiltonianas generalizadas coincide exactamente com as trajectórias óptimas generalizadas (incluindo descontinuidades e componentes distribucionais). Propõe-se uma nova classificação das restrições de Dirac, que é usada para obter uma caracterização geométrica das soluções óptimas generalizadas. Discutem-se as implicações do fenómeno denominado "liberdade de gauge" e do conceito associado de "equivalência física" entre trajectórias, introduzido por Dirac. Prova-se que uma certa conjectura formulada por Dirac, relativa às restrições de "primeira classe", é verdadeira.

The present work deals with the singular linear-quadratic optimal control problems (L-Q problems). It is known that there exist problems of this class such that the infimum of the cost functional over the set of admissible solutions is finite but the problem fails to have an optimum. In such cases it is useful to have some characterization of the minimizing sequences (i.e., those sequences of admissible solutions such that the corresponding sequence of costs converges to the infimum of the problem). We overcome this difficulty by constructing a space of "generalized controls", larger than the set of "ordinary controls" (i.e., L2[0, T], onto which both the cost functional and the input-to-trajectory map can be uniquely extended by continuity. Thus, we devise an "extended problem" that has an optimum whenever the infimum of the original problem is finite. The minimizing sequences are those sequences that converge, in an adequate topology, to some "generalized optimal solution". The space of generalized controls is a subspace of the Sobolev space H-r, and the corresponding generalized trajectories are generalized functions of class H-(r-1) (here r is the order of singularity of the problem, defined in the text). It follows that the generalized optimal trajectories may be discontinuous (which has been described by various authors before) and may also include distributional terms (which seems to have passed unnoticed from previous authors). The presence of distributional terms implies that the minimizing sequences that converge to such optimal solutions must be unbounded in a certain sense. We use two different approaches: The first approach to our problem is based on a certain transformation that yields a representation of the trajectories and of the cost as functions of indefinite integrals (primitives) of the control. This yields the extension of the problem onto the class of generalized controls, proving that such extension exists whenever the second variation of the cost is nonnegative on some subspace of finite codimension in L2[0, T]. Our second approach uses the so called Dirac-Bergmann theory of constraints. In its original form, this is a method to find extremal solutions for singular variational problems, here adapted to find optimal solutions to the L-Q problem. This yields a geometric characterization of the generalized optimal solutions. We show that these two approaches are tightly connected, being to a great extent equivalent. Using the first approach we characterize the class of L-Q problems which have a finite infimum, and we show that those problems always have a generalized solution. We also find necessary and sufficient conditions for the uniqueness of the generalized solution. We show how to compute generalized solutions both in open loop form (via Pontryagin's maximum principle) and in feedback form (via solution of a specially constructed Riccati differential equation). We give a procedure to construct an arbitrarily smooth minimizing sequence, approximating a given generalized optimal solution. We describe the structure of the generalized optimal solutions. We show how to extend the Dirac-Bergmann theory of constraints, giving a "natural" definition of a "generalized Hamiltonian flow". The trajectories of this flow are generalized functions of class H-(r-1). We prove that the projections of the generalized Hamiltonian trajectories coincide exactly with the generalized optimal trajectories (including discontinuities and distributional terms). This result suggests a new classification of the Dirac-Bergmann constraints which in turn yields a geometric characterization of the generalized optimal solutions. We also discuss the consequences of the phenomenon called "gauge freedom" and the related notion of "physical equivalence" between trajectories, introduced by Dirac. We prove that a certain conjecture formulated by Dirac, concerning the "first class constraints", is true.