Equações diferenciais descontínuas e inclusões diferenciais

Abstract

O objectivo desta dissertação é estudar as soluções de equações diferenciais definidas por campos vectoriais descontínuos e suas relações com as inclusões diferenciais. Começamos por analisar a existência, unicidade e dependência contínua dos dados iniciais, das soluções de Carathéodory. De seguida estudamos as soluções generalizadas recorrendo a duas abordagens. Uma primeira abordagem consiste em definir solução generalizada como limite uniforme duma certa sucessão de soluções aproximadas, introduzindo assim as soluções de Hermes e de Euler: A outra abordagem baseia-se em definir solução generalizada, como sendo solução duma inclusão diferencial associada a equação diferencial. Estuda-se desta forma a regularização das equações diferenciais com lado direito descontínuo, e introduz-se os conceitos de solução de Krasowski e de Filippov.

ABSTRACT: The aim of this dissertation is to study the solutions of differential equations defined by discontinuous vector fields and its relationship with differential inclusions. We begin by analyzing the existence, uniqueness and continuous dependence with respect to initial data of Carathéodory solutions. Then we study the generalized solutions using two approaches. One approach is to define general solution as uniform limit of a certain sequence of approximate solutions, thus introducing the solutions of Euler and Hermes. The other approach consists on defining general solution as solution of a certain differential inclusion associated with the differential equation, and we use it study the regularization of differential equations with discontinuous right side, and to introduce the concepts of Krasowski and Filippov solutions.