Majorantes para a ordem de subgrafos induzidos k-regulares

Abstract

Muitos dos problemas de otimização em grafos reduzem-se à determinação de um subconjunto de vértices de cardinalidade máxima que induza um subgrafo k-regular. Uma vez que a determinação da ordem de um subgrafo induzido k-regular de maior ordem é, em geral, um problema NP-difícil, são deduzidos novos majorantes, a determinar em tempo polinomial, que em muitos casos constituam boas aproximações das respetivas soluções ótimas. Introduzem-se majorantes espetrais usando uma abordagem baseada em técnicas de programação convexa e estabelecem-se condições necessárias e suficientes para que sejam atingidos. Adicionalmente, introduzem-se majorantes baseados no espetro das matrizes de adjacência, laplaciana e laplaciana sem sinal. É ainda apresentado um algoritmo não polinomial para a determinação de umsubconjunto de vértices de umgrafo que induz umsubgrafo k-regular de ordem máxima para uma classe particular de grafos. Finalmente, faz-se um estudo computacional comparativo com vários majorantes e apresentam-se algumas conclusões.

Many optimization problems on graphs are reduced to the determination of a subset of vertices of maximum cardinality inducing a k-regular subgraph. Since the determination of the order of a k-regular induced subgraph of highest order is in general a NP-hard problem, new upper bounds, determined in polynomial time which in many cases are good approximations of the respective optimal solutions are deduced. Using convex programming techniques, spectral upper boundswere introduced jointly with necessary and sufficient conditions for those upper bounds be achieved. Additionally, upper bounds based on adjacency, Laplacian and signless Laplacian spectrum are introduced. Furthermore, a nonpolynomial time algorithm for determining a subset of vertices of a graph which induces a maximum k-regular induced subgraph for a particular class is presented. Finally, a comparative computational study is provided jointly with a few conclusions.