Contributions to the theory of maximum entropy estimation for ill-posed models

Abstract

As técnicas estatísticas são fundamentais em ciência e a análise de regressão linear é, quiçá, uma das metodologias mais usadas. É bem conhecido da literatura que, sob determinadas condições, a regressão linear é uma ferramenta estatística poderosíssima. Infelizmente, na prática, algumas dessas condições raramente são satisfeitas e os modelos de regressão tornam-se mal-postos, inviabilizando, assim, a aplicação dos tradicionais métodos de estimação. Este trabalho apresenta algumas contribuições para a teoria de máxima entropia na estimação de modelos mal-postos, em particular na estimação de modelos de regressão linear com pequenas amostras, afetados por colinearidade e outliers. A investigação é desenvolvida em três vertentes, nomeadamente na estimação de eficiência técnica com fronteiras de produção condicionadas a estados contingentes, na estimação do parâmetro ridge em regressão ridge e, por último, em novos desenvolvimentos na estimação com máxima entropia. Na estimação de eficiência técnica com fronteiras de produção condicionadas a estados contingentes, o trabalho desenvolvido evidencia um melhor desempenho dos estimadores de máxima entropia em relação ao estimador de máxima verosimilhança. Este bom desempenho é notório em modelos com poucas observações por estado e em modelos com um grande número de estados, os quais são comummente afetados por colinearidade. Espera-se que a utilização de estimadores de máxima entropia contribua para o tão desejado aumento de trabalho empírico com estas fronteiras de produção. Em regressão ridge o maior desafio é a estimação do parâmetro ridge. Embora existam inúmeros procedimentos disponíveis na literatura, a verdade é que não existe nenhum que supere todos os outros. Neste trabalho é proposto um novo estimador do parâmetro ridge, que combina a análise do traço ridge e a estimação com máxima entropia. Os resultados obtidos nos estudos de simulação sugerem que este novo estimador é um dos melhores procedimentos existentes na literatura para a estimação do parâmetro ridge. O estimador de máxima entropia de Leuven é baseado no método dos mínimos quadrados, na entropia de Shannon e em conceitos da eletrodinâmica quântica. Este estimador suplanta a principal crítica apontada ao estimador de máxima entropia generalizada, uma vez que prescinde dos suportes para os parâmetros e erros do modelo de regressão. Neste trabalho são apresentadas novas contribuições para a teoria de máxima entropia na estimação de modelos mal-postos, tendo por base o estimador de máxima entropia de Leuven, a teoria da informação e a regressão robusta. Os estimadores desenvolvidos revelam um bom desempenho em modelos de regressão linear com pequenas amostras, afetados por colinearidade e outliers. Por último, são apresentados alguns códigos computacionais para estimação com máxima entropia, contribuindo, deste modo, para um aumento dos escassos recursos computacionais atualmente disponíveis.

Statistical techniques are essential in most areas of science being linear regression one of the most widely used. It is well-known that under fairly conditions linear regression is a powerful statistical tool. Unfortunately, some of these conditions are usually not satisfied in practice and the regression models become ill-posed, which means that the application of traditional estimation methods may lead to non-unique or highly unstable solutions. This work is mainly focused on the maximum entropy estimation of ill-posed models, in particular the estimation of regression models with small samples sizes affected by collinearity and outliers. The research is developed in three directions, namely the estimation of technical efficiency with state-contingent production frontiers, the estimation of the ridge parameter in ridge regression, and some developments in maximum entropy estimation. In the estimation of technical efficiency with state-contingent production frontiers, this work reveals that the maximum entropy estimators outperform the maximum likelihood estimator in most of the cases analyzed, namely in models with few observations in some states of nature and models with a large number of states of nature, which usually represent models affected by collinearity. The maximum entropy estimators are expected to make an important contribution to the increase of empirical work with state-contingent production frontiers. The main challenge in ridge regression is the selection of the ridge parameter. There is a huge number of methods to estimate the ridge parameter and no single method emerges in the literature as the best overall. In this work, a new method to select the ridge parameter in ridge regression is presented. The simulation study reveals that, in the case of regression models with small samples sizes affected by collinearity, the new estimator is probably one of the best ridge parameter estimators available in the literature on ridge regression. Founded on the Shannon entropy, the ordinary least squares estimator and some concepts from quantum electrodynamics, the maximum entropy Leuven estimator overcomes the main weakness of the generalized maximum entropy estimator, avoiding exogenous information that is usually not available. Based on the maximum entropy Leuven estimator, information theory and robust regression, new developments on the theory of maximum entropy estimation are provided in this work. The simulation studies and the empirical applications reveal that the new estimators are a good choice in the estimation of linear regression models with small samples sizes affected by collinearity and outliers. Finally, a contribution to the increase of computational resources on the maximum entropy estimation is also accomplished in this work.