Comutadores de matrizes

Abstract

O estudo de comutadores aditivos de matrizes ao longo da década de 50 e de comutadores multiplicativos de matrizes ao longo da década de 60 estão na base deste trabalho, que pretende apresentar os resultados mais abrangentes sobre os dois tipos de comutadores. São caracterizados os comutadores aditivos de matrizes em corpos quaisquer e apresentadas algumas propriedades particulares válidas em corpos algebricamente fechados. São apresentadas condições para que uma matriz com entradas em GF(2), GF(3) e num corpo distinto dos anteriores, seja um comutador multiplicativo de matrizes. Finalmente, apresentam-se condições para que uma matriz seja um comutador multiplicativo de matrizes com determinantes quaisquer prescritos.

The study of additive matrix commutators along the decade of 50 and multiplicative matrix commutators along the decade of 60 are the basis of this work, which intends to present the most including results on the two types of commutators. We characterize additive matrix commutators over a general field and present some particular properties valid in algebraically closed fields. We present conditions so that a matrix with elements in GF(2), GF(3) and in a field different from the previous is a multiplicative matrix commutator. Finally, we present conditions so that a matrix is a multiplicative matrix commutator with any prescribed determinants.