Aproximação numérica de valores próprios de matrizes reais

Abstract

O problema numérico de calcular os valores próprios de matrizes com entradas reais é introduzido referindo algumas notas históricas e às suas múltiplas aplicações. Noções básicas de teoria de matrizes são apresentadas. Alguns métodos clássicos e básicos de localização de valores próprios são apresentados, usando normas matriciais e recorrendo aos círculos de Gershgorin. O problema de calcular o polinómio caraterístico de uma matriz é abordado através dos métodos de Danilevsky, de Krylov, de Leverrier e também do método dos coeficientes indeterminados. Uma vez que um valor próprio de uma matriz é uma raíz do seu polinómio característico, descrevem-se os métodos numéricos de Newton-Horner, de Muller e de Bairstow, para o cálculo de raízes de polinómios. Por último, são estudados métodos iterativos matriciais, que são os que atualmente se preferem, para o cálculo dos valores próprios de uma matriz. Nesse estudo, contemplam-se o Método da Potência (diretas e inversas), o Método QR (nas variantes básica e Hessenberg-QR) e o Método de Jacobi. Tecem-se as principais conclusões da dissertação e termina-se com um conjunto de pistas para eventual trabalho adicional. Anexam-se alguns métodos históricos de localização de zeros de polinómios e, também, o código das rotinas MATLAB®, usadas para as simulações numéricas dos exemplos que atravessam todo o texto.

The numerical problem of computing the eigenvalues of a real matrix is introduced with reference to some historical notes and its multiple applications. Basic notions of matrix theory are presented. Some classic and basic methods of eigenvalues localization are presented, using matrix norms and Gershgorin circles. The problem of computing the characteristic polynomial of a matrix is addressed through the methods of Danilevsky, Krylov, Leverrier and, also the undetermined coe cient method. Once that a matrix eigenvalue is a root of its characteristic polynomial, we describe the numerical methods of Newton-Horner, Muller and Bairstow, to calculate polynomial roots. Finally, we study matrix iterative methods that, nowadays, are preferred for computing matrix eigenvalues. In this thesis, we include the Power Method (Direct and Inverse), the QR Method (basic and Hessenberg-QR variants) and the Jacobi Method. We establish the main conclusions of this thesis and end with a set of clues for eventual additional work. We append some historical methods of polynomial roots localization and, also, the codes of MATLAB® routines used for the numerical simulations in the examples given throughout the text