Teorema de Noether do cálculo das variações e controlo óptimo estocásticos

Abstract

Neste trabalho começamos por apresentar os problemas clássicos do cálculo das variações e controlo óptimo determinísticos, dando ênfase ás condições necessárias de optimalidade de Euler-Lagrange e Princípio do Máximo de Pontryagin (Capítulo 1). No Capítulo 2 demonstramos o Teorema de Noether do cálculo das variações e uma sua extensão ao controlo óptimo. Como exemplos de aplicação mencionamos as leis de conservação de momento e energia da mecânica, válidas ao longo das extremais de Euler-Lagrange ou das extremais de Pontryagin. Numa segunda parte do trabalho introduzimos o cálculo das variações estocástico (Capítulo 3) e demonstramos um teorema de Noether estocástico obtido recententemente por Jacky Cresson (Capítulo 4). O Capítulo 5 é dedicado á programação dinâmica: caso discreto e contínuo, caso determinístico e estocástico.

In this master thesis we begin by presenting the classical deterministic problems of the calculus of variations and optimal control, with emphasis to the necessary optimality conditions of Euler-Lagrange and Pontryagin’s Maximum Principle (Chapter 1). In Chapter 2 we prove the Noether’s theorem of calculus of variations and an extension to optimal control. As examples of application we mention the conservation laws of momentum and energy, valid along the Euler-Lagrange or Pontryagin extremals. In the second part of the thesis we introduce the stochastic calculus of variations (Chapter 3) and we prove a recent stochastic Noether-type theorem obtained by Jacky Cresson (Chapter 4). The Chapter 5 is dedicated to dynamic programming: discrete-time and continuous cases, both deterministic and stochastic.