Equidade e eficiência na optimização de sistemas multidimensionais de Erlang-B

Abstract

Formula-se um problema de optimização relativo à afectação de servidores entre grupos funcionais de Erlang-B (M/M/n/0), que ocorre na modelação de sistemas de Teletráfego. Na prática, há normalmente dois objectivos a atingir no dimensionamento de tais sistemas: Maximizar o volume de tráfego transportado (minimizando o tráfego perdido pelo sistema global) e optimizar o grau de serviço (minimizando as probabilidades de bloqueio). Analisa-se o conflito potencial entre os dois objectivos e caracteriza-se o conjunto N das soluções não dominadas do problema. A abordagem do problema de optimização é antecedida de um estudo numérico (cálculo das derivadas da função de Erlang-B) e analítico (propriedades de convexidade do modelo). Estabelecem-se dois métodos numéricos de cálculo das derivadas parciais de primeira e segunda ordem na variável número de servidores (Método da Recursão Completa Generalizada e Método da Recursão Reduzida). Uma análise do erro propagado nessas recursões mostra a notável estabilidade numérica dos processos de cálculo. Extensos resultados computacionais mostram a grande eficiência dos métodos propostos, mesmo para valores elevados dos argumentos. No que toca às propriedades analíticas, estabelece-se o sinal das derivadas parciais de segunda ordem da função tráfego de transbordo num sistema de Erlang-B. A convexidade em cada uma das variáveis é demonstrada no sentido estrito e em todo o domínio, generalizando resultados já conhecidos. É proposto um algoritmo para percorrer N, que usa o método de Newton combinado com uma estratégia especial de determinação das restrições que estão activas em cada óptimo de Pareto.

An optimization problem related to the server allocation between Erlang-B functional groups is formulated. This problem occurs in Teletraffic Systems modeling. In applied situations, the design of such a system usually involves two objectives: to minimize the overflow traffic of the global system and to minimize the blocking probabilities. The potential conflict between these objectives is shown and the set N of the non inferior solutions of the problem is characterized. An algorithm for traveling on N is given. This algorithm uses the Newtow- Raphson method together with a special strategy for determining the set of active restrictions for each Pareto optimal solution. Previously to the explanation of this optimization problem, a numerical and analytic study of the model, including the determination of the Erlang-B function derivatives and convexity properties is presented. Two methods are proposed for the numerical evaluation of the first and second order derivatives of the Erlang-B function: Complete Generalized Recursion Method and Reduced Recursion Method. A good numerical stability of both methods is ensured by including a detailed error analysis. Furthermore, extensive computations show the great efficiency of those methods even for high argument values. Concerning the analytic properties, the sign of the second order partial derivatives of the overflow traffic function is established and the strict convexity in each variables is shown.