Análise bayesiana em séries temporais com erros exponenciais

Abstract

O objectivo principal desta tese consiste na aplicação da metodologia Bayesiana ao estudo de series temporais com ruído exponencial. A complexidade observada desta abordagem, mesmo na análise de modelos bastante simples, levou à necessidade de procurar métodos alternativos aproximados que permitissem, de uma forma mais sistemática, fazer a inferên­cia e predição Bayesianas associadas aos modelos considerados. Ao situar estes modelos dentro da classe mais geral de modelos de séries temporais não lineares, também houve a preocupação, na elaboração desta tese, de fazer uma síntese dos resultados conhecidos em modelos de séries temporais não lineares. Os dois primeiros capítulos da tese são dedicados a esta síntese, enquanto que os restantes capítulos incidem sobre o tema principal da tese. No Capítulo 1 apresenta-se uma sistematização do actual desenvolvimento da teoria subja­cente a modelos não lineares, considerando processos cujo ruído branco é caracterizado de uma forma geral (particularizando-se a distribuição Gaussiana quando conveniente). No Capítulo 2 consideram-se modelos de series temporais com estrutura autoregressiva cu­jos erros são misturas de exponenciais ou têm distribuição exponencial. Os Capítulos 3 e 4 estão relacionados com o objectivo principal desta tese. Neles determi­nam-se, para os diversos modelos considerados, aproximações para as estimativas Bayesia­nas dos parâmetros dos modelos, regiões de credibilidade, predições pontuais e intervalares para futuras observações e comparam-se, por intermédio de simulações ou utilizando dados reais, os resultados obtidos pelas abordagens Clássica e Bayesiana. Especificamente: No Capítulo 3 consideram-se modelos autoregressivos de primeira ordem com erro expo­nencial biparamétrico, modelos autoregressivos de segunda ordem com erro exponencial uniparamétrico e faz-se uma breve generalização a modelos modelos autoregressivos de ordem p. No Capítulo 4 abordam-se os modelos limiares autoregressivos de primeira ordem de dois regimes com ruído exponencial uniparamétrico, considerando o parâmetro limiar fixo ou variável. Finalmente no Capítulo 5 indicam-se as principais conclusões e apontam-se algumas pers­pectivas de dar continuidade ao trabalho aqui iniciado.

The main purpose of this thesis is the application of Bayesian methodology to the analysis of time series models with exponential noise. Since the exact Bayesian analysis proved to be very complex, even for the simplest models, it was decided to search for methods that could provide good approximations to the exact solution, so that Bayesian inference and prediction for the models could be performed in a more systematic way. The models considered are very special cases of non-linear time series models. Hence it seemed to be adequate to incorporate in the thesis a review of the literature on non-linear time series models. The first two chapters of the thesis are dedicated to this review, while the other chapters are concerned with the main theme of the thesis. Chapter 1 deals with a systematic review of the current development of the theory underlying the non-linear time series models. Here processes are considered to have a general white noise, although sometimes, for convenience, references are made to particular situations where the white noise is Gaussian. Chapter 2 considers time series models with an autoregressive structure, whose errors are either mixtures of exponentials or have exponential distribution. Chapter 3 and 4 are related to the main purpose of the thesis. Chapter 3 is dedicated to the Bayesian analysis of autoregressive models with exponential errors. A complete analysis is considere for two models: (i) a first order autoregressive model where the errors have an exponential distribution with both scale and location parameter unknown; (ii) a second order autoregressive model where the errors follow an exponential distribution with known location. A brief generalization is considered for the autoregressive model of order p . Simulation methods are used to study the performance of the different approximations considered. Also a comparative study is done with the Classical approach. In Chapter 4 a complete analysis is considered for a threshold autoregressive model with two regimes. The errors are again assumed to follow an exponential distribution. Initially the model is studied considering the threshold parameter fixed, but this restriction is later lifted and a full analysis of the model is made considering a variable threshold. The results are applied to real data. Finally, in Chapter Five the main conclusions are drawn and future research work is discussed.