Regularization and Bang-bang conjugate times in optimal control

Abstract

Consideramos o problema de controlo óptimo de tempo mínimo para sistemas de controlo mono-entrada e controlo afim num espaço de dimensão finita com condições inicial e final fixas, onde o controlo escalar toma valores num intervalo fechado. Quando aplicamos o método de tiro a este problema, vários obstáculos podem surgir uma vez que a função de tiro não é diferenciável quando o controlo é bang-bang. No caso bang-bang os tempos conjugados são teoricamente bem definidos para este tipo de sistemas de controlo, contudo os algoritmos computacionais directos disponíveis são de difícil aplicação. Por outro lado, no caso suave o conceito teórico e prático de tempos conjugados é bem conhecido, e ferramentas computacionais eficazes estão disponíveis. Propomos um procedimento de regularização para o qual as soluções do problema de tempo mínimo correspondente dependem de um parâmetro real positivo suficientemente pequeno e são definidas por funções suaves em relação à variável tempo, facilitando a aplicação do método de tiro simples. Provamos, sob hipóteses convenientes, a convergência forte das soluções do problema regularizado para a solução do problema inicial, quando o parâmetro real tende para zero. A determinação de tempos conjugados das trajectórias localmente óptimas do problema regularizado enquadra-se na teoria suave conhecida. Provamos, sob hipóteses adequadas, a convergência do primeiro tempo conjugado do problema regularizado para o primeiro tempo conjugado do problema inicial bang-bang, quando o parâmetro real tende para zero. Consequentemente, obtemos um algoritmo eficiente para a computação de tempos conjugados no caso bang-bang.

In this thesis we consider a minimal time control problem for single-input control-affine systems in finite dimension with fixed initial and final conditions, where the scalar control take values on a closed interval. When applying a shooting method for solving this problem, one may encounter numerical obstacles due to the fact that the shooting function is non smooth whenever the control is bang-bang. For these systems a theoretical concept of conjugate time has been defined in the bang-bang case, however direct algorithms of computation are difficult to apply. Besides, theoretical and practical issues for conjugate time theory are well known in the smooth case, and efficient implementation tools are available. We propose a regularization procedure for which the solutions of the minimal time problem depend on a small enough real positive parameter and are defined by smooth functions with respect to the time variable, facilitating the application of a single shooting method. Under appropriate assumptions, we prove a strong convergence result of the solutions of the regularized problem towards the solution of the initial problem, when the real parameter tends to zero. The conjugate times computation of the locally optimal trajectories for the regularized problem falls into the standard theory. We prove, under appropriate assumptions, the convergence of the first conjugate time of the regularized problem towards the first conjugate time of the initial bang-bang control problem, when the real parameter tends to zero. As a byproduct, we obtain an efficient algorithmic way to compute conjugate times in the bang-bang case.

On considère le problème de contrôle optimal de temps minimal pour des systèmes affine et mono-entrée en dimension finie, avec conditions initiales et finales fixées, où le contrôle scalaire prend ses valeurs dans un intervalle fermé. Lors de l'application d'une méthode de tir pour résoudre ce problème, on peut rencontrer des obstacles numériques car la fonction de tir n'est pas lisse lorsque le contrôle est bang-bang. Pour ces systèmes, dans le cas bangbang, un concept théorique de temps conjugué a été défini, toutefois les algorithmes de calcul direct sont difficiles à appliquer. En outre, les questions théoriques et pratiques de la théorie du temps conjugué sont bien connues dans le cas lisse, et des outils efficaces de mise en oeuvre sont disponibles. On propose une procédure de régularisation pour laquelle les solutions du problème de temps minimal dépendent d’un paramètre réel positif suffisamment petit et sont définis par des fonctions lisses en temps, ce qui facilite l’application de la méthode de tir simple. Sous des hypothèses convenables, nous prouvons un résultat de convergence forte des solutions du problème régularisé vers la solution du problème initial, lorsque le paramètre réel tend vers zéro. Le calcul des temps conjugués pour les trajectoires localement optimales du problème régularisé est standard. Nous prouvons, sous des hypothèses appropriées, la convergence du premier temps conjugué du problème régularisé vers le premier temps conjugué du problème de contrôle bang-bang initial, quand le paramètre réel tend vers zéro. Ainsi, on obtient une procédure algorithmique efficace pour calculer les temps conjugués dans le cas bang-bang.