O sistema dinâmico de Lotka–Volterra e sua discretização

Abstract

Os sistemas dinâmicos podem ser aplicados nas mais variadas áreas da ciência e são de elevada importância para que se possa compreender a evolução temporal de vários fenómenos. Em particular, são de grande utilidade para o estudo da dinâmica populacional. Neste tópico, muito se tem feito desde que Lotka e Volterra apresentaram o primeiro sistema que visava compreender de que forma a interação entre duas espécies - a presa e o predador - influenciava o crescimento de ambas as populações. A definição de tempo é crucial nos sistemas dinâmicos e, entre várias opções, encontram-se o tempo contínuo e o tempo discreto. A escolha de um método para proceder à discretização de um sistema dinâmico contínuo é, também, de elevada importância, pois apesar de serem dois espaços temporais diferentes, é esperado que o comportamento qualitativo do sistema seja idêntico em ambos os casos. Nesta dissertação o objetivo passa pela aplicação de dois métodos de discretização distintos ao sistema dinâmico clássico de Lotka–Volterra: o Método de Euler Progressivo e o Método de Mickens. Analisam-se os pontos fixos e a sua estabilidade em ambos os casos, provando que o primeiro método leva à inconsistência dinâmica e instabilidade numérica, enquanto que o segundo é capaz de manter todas as propriedades do modelo.

Dynamical systems can be applied in several areas of science, and are of great importance for understanding the temporal evolution of various phenomena. In particular, dynamical systems are a valuable asset for the study of population dynamics. On this topic, much has been done since Lotka and Volterra presented the very first system that aimed to understand how the interaction between two species - the prey and the predator - influenced the growth of both populations. The definition of time is crucial in dynamical systems, and among several options one can have continous time and discrete time. The choice of a method to proceed with the discretization of a continuous dynamical system is also essential, because the qualitative behaviour of the system is expected to be identical in both cases despite being two different temporal spaces. In this work, the main goal is to apply two different discretization methods to the classical Lotka–Volterra dynamical system: the Progressive Euler’s Method and the Mickens’ Method. Fixed points and their stability are analyzed in both cases, proving that the first method leads to dynamic inconsistency and numerical instability, while the second is capable of keeping all the properties of the model.