Convolutional codes for multi-shot network coding

Abstract

In this thesis, we aim to provide a general overview of the area of multi-shot codes for network coding. We will review the approaches and results proposed so far and present slightly more general definitions of rank metric block and convolutional codes that allows a wider set of rates than the definitions of rank metric codes that exist in the literature. We also present, within this new framework, the notion of column rank distance of a rank metric convolutional code. We investigate it properties and derive an upper-bound that allows us to extend the notions of Maximum Distance Profile and Strongly-Maximum Distance Separable convolutional codes to some rank metric codes analogues. We focused on the development of channel encoders as a mechanism that allows the recovery of the data lost during the transmission. We also concentrate on the construction of novel classes of MRD convolutional codes. In particular we aim at extending the constructions presented by Napp, Pinto, Rosenthal and Vettori, in order to increase the degree of the code and consequently it error correction capability. As alternative to rank metric convolutional codes, we present a novel scheme by concatenation of a Hamming metric convolutional code (as outer code) and a rank metric block code (as a inner code). The proposed concatenated code is defined over the base finite field instead of over several extension finite fields and pretend to reduce the complexity of encoding and decoding process and moreover use the more general definition of rank metric code in order to be more natural.

Nesta tese, pretendemos mostrar uma visão geral da área de códigos multishot na codificação em redes. Para o efeito, iremos rever as abordagens e resultados propostos até agora e apresentar definições um pouco mais gerais de códigos a blocos e códigos convolucionais que permitem uma ampliação das definições de códigos de métrica rank que já existem na literatura. Também apresentamos, dentro desta nova estrutura, a noção de distância de coluna de um código convolucional de métrica rank. Investigamos as suas propriedades e derivamos um limite superior para o valor da mesma, que nos permite estender as noções de MDP e Strongly MDS para os códigos de métrica rank. Iremos também focar-nos no desenvolvimento de codificadores de canal como mecanismo que permite uma melhor recuperação dos dados perdidos durante o processo de transmissão. Também nos concentramos na construção de novas classes de códigos convolucionais MRD. Em particular, pretendemos estender as construções apresentadas por Napp, Pinto, Rosenthal e Vettori, com o intuito de incrementar o grau do código e, consequentemente, melhorar a sua capacidade corretora. Como alternativa aos códigos convolucionais de métrica rank, apresentamos um novo esquema usando concatenação de um código convolucional de métrica Hamming (como código externo) e um código a bloco de métrica rank (como um código interno). O código concatenado proposto é definido sobre o corpo finito base, com o intuito de reduzir a complexidade do processo de codificação e decodificação e, além disso, usa a definição mais geral de código de métrica rank, tornando o processo mais natural.