Generalizações da etiquetagem de Pak-Stanley

Abstract

Neste artigo pretendemos dar a conhecer ao leitor uma área que consideramos particularmente atraente, onde temos obtido alguns resultados que tentaremos também relatar.

O ponto de partida é uma construção (a "etiquetagem de Pak-Stanley''), que associa um vetor a cada uma das regiões em que determinado conjunto de hiperplanos divide o espaço euclideano $\R^n$. Regiões vizinhas diferem (em $1$) numa coordenada, crescendo ao afastar-se de uma determinada região, etiquetada com $(1,1,\dotsc,1)$. Há cerca de vinte anos, Pak e Stanley mostraram que, no caso de os hiperplanos formarem o "arranjo de Shi'', as etiquetas de Pak-Stanley formam um conjunto previamente estudado, o conjunto das "parking functions'', e que a etiquetagem é bijetiva, muito embora seja difícil definir a função inversa, isto é, obter a região a partir da etiqueta.

Esta construção tem uma extensão natural a outros arranjos. Recentemente, Mazin obteve uma caracterização muito geral dos conjuntos de etiquetas assim obtidos, que implica, em particular, o resultado de Pak e Stanley. Com base neste trabalho de Mazin, estudamos as etiquetagens de outro arranjos, o arranjo de Ish recentemente definido e um conjunto de arranjos por nós introduzido, que constitui uma classe naturalmente balizada, por um lado, pelo arranjo de Shi, e por outro, pelo arranjo de Ish.

O nosso trabalho, em traços gerais, consistiu em descrever o conjunto das etiquetas respetivas e em mostrar que as etiquetagens são bijetivas, recorrendo a diferentes técnicas e resultados que aqui são explicitamente referidos. A exposição dessas técnicas e o relato desses resultados, alguns já "clássicos'' da área e outros muito recentes, foram talvez a nossa razão mais forte para a escrita deste pequeno texto.