Dynamic analysis and optimal control with applications to economics

Abstract

Mathematical models, in combination with the theory of Optimal Control, are a powerful tool for performing research in Epidemiology. With mathematical modelling and computational tools, it is possible to study the development of disease dynamics and test several theories for combating diseases and their spread. However, it can also be applied in other spheres of human activity. In this Ph.D. thesis, the fundamental principles of epidemiology and optimal control theory are applied to the study of the dynamics of the crisis spread processes in economy. A crisis, like a financial virus, can spread from one country to another, like infectious diseases that spread from one person to another. In this regard, the process of spread of a financial virus between the national economies of countries through the network of their economic activities can be modelled based on mathematical epidemiology concepts. Control, optimal management strategy, and minimization of negative consequences are essential for the application of optimal control theory. At first, it was studied the cyclical nature of a crisis. The identification of fluctuation waves in the long-term production dynamics of the macroeconomic indicators of a particular real national economy was investigated, and an input-output model with an apparatus based on regression analysis was used. The spread of financial contagion was investigated using mathematical models based on ordinary differential equations that describe the dynamics underlying a financial disease called a crisis, including economic interactions between countries. The spread of financial contagion to other countries can be weakened by timely financial support both from the Central Bank, in the form of Capital Reserves, and by borrowing money from the International Monetary Fund, which play a central role in the international management of financial crises. This way, it was analyzed optimal strategies for using these controls and the corresponding effect on reducing or eliminating the crisis during an outbreak among the national economies. As a demonstrative example of the dynamics of the epidemiological process of the spread of financial contagion between countries, the epidemiological modelling in networks was applied. Its implementations used mathematical modelling software such as MATLAB, BOCOP, and NetLogo.

Os modelos matemáticos, em combinação com a teoria do Controlo Ótimo, são uma ferramenta poderosa para a realização de investigação em Epidemiologia. Com a modelação matemática e as ferramentas computacionais, é possível estudar o desenvolvimento da dinâmica de doenças e testar várias teorias de combate das mesmas e da sua disseminação. Contudo, a sua aplicação pode estender-se a outras esferas da atividade humana. Nesta tese de doutoramento, os princípios fundamentais da epidemiologia e da teoria do Controlo Ótimo são aplicados ao estudo e análise da dinâmica de processos de propagação de uma crise na economia. Uma crise, tal como um vírus financeiro, pode espalhar-se de um país para outro, da mesma forma que as doenças infeciosas se transmitem de uma pessoa para outra. Nesse sentido, o processo de disseminação do vírus financeiro entre as economias nacionais dos países, por meio da rede de suas atividades económicas, pode ser modelado com base nos conceitos de epidemiologia matemática. Controlo, gestão estratégica e minimização das consequências negativas são essenciais para a aplicação da teoria do Controlo Ótimo. Inicialmente, estudou-se a natureza cíclica da crise. Foi investigada a identificação de ondas de flutuação a longo prazo na dinâmica da produção dos indicadores macroeconómicos de uma determinada economia nacional, utilizando um modelo de input-output baseado em análise de regressão. A propagação do contágio financeiro foi analisada usando modelos matemáticos baseados em equações diferenciais ordinárias que descrevem a dinâmica subjacente a uma doença financeira chamada crise, incluindo interações económicas entre países. A disseminação do contágio financeiro para outros países pode ser enfraquecida pelo apoio financeiro oportuno, tanto do Banco Central, na forma de Reservas de Capital, como pelo empréstimo de recursos do Fundo Monetário Internacional, que desempenham um papel central na gestão internacional de crises financeiras. Desta forma, foram analisadas estratégias ótimas para o uso desses controlos e o efeito correspondente na redução ou eliminação da crise durante um surto entre as economias nacionais dos países. Como exemplo demonstrativo da dinâmica do processo epidemiológico de disseminação do contágio financeiro entre países, foi aplicada a modelação epidemiológica em redes. As suas implementações recorreram a software de modelação matemática como o MATLAB, BOCOP e NetLogo.