Kleisli dualities and Vietoris coalgebras

Abstract

In this thesis we aim for a systematic way of extending Stone-Halmos duality theorems to categories including all compact Hausdorff spaces. To achieve this goal, we combine duality theory and quantale-enriched category theory. Our main idea is that, when passing from the two-element discrete space to a cogenerator of the category of compact Hausdorff spaces, all other involved structures should be substituted by corresponding enriched versions. Accordingly, we work with the unit interval [0, 1] and present duality theory for ordered compact spaces and (suitably defined) finitely cocomplete categories enriched in [0, 1]. In the second part, we study limits in categories of coalgebras whose underlying functor is a Vietoris polynomial one — intuitively, the topological analogue of a Kripke polynomial functor.

Nesta tese pretendemos estender de forma sistemática dualidades de StoneHalmos para categorias que incluem todos os espaços de Hausdorff compactos. Para atingir este objectivo combinamos teoria de dualidades e teoria de categorias enriquecidas em quantais. A nossa ideia principal é que ao passar do espaço discreto com dois elementos para um cogerador da categoria de espaços de Hausdorff compactos, todas as restantes estruturas envolvidas devem ser substituídas por versões enriquecidas correspondentes. Desta forma, consideramos o intervalo unitário [0, 1] e desenvolvemos teoria de dualidades para espaços ordenados compactos e categorias enriquecidas em [0, 1] finitamente cocompletas (apropriadamente definidas). Na segunda parte da tese estudamos limites em categorias de coalgebras cujo functor subjacente é um functor de Vietoris polinomial — intuitivamente, uma versão topológica de um functor polinomial de Kripke.