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http://hdl.handle.net/10773/29813
Título: | Generalizations of the Fourier transform and their applications |
Outros títulos: | Generalizações da transformação de Fourier e suas aplicações |
Autor: | Guerra, Rita Catarina Correia |
Orientador: | Castro, Luís Filipe Pinheiro de Nguyen Minh Tuan |
Palavras-chave: | Fourier transform Fractional Fourier transform Linear canonical transform Quadratic Fourier transform Convolution Invertibility Spectrum Unitary property Involution Integral equation Parseval identity Wiener theorem Tauberian theory Heisenberg uncertainty principle Filtering Fourier series Hermite function |
Data de Defesa: | Out-2019 |
Resumo: | In this thesis, we consider a new generalization of the Fourier transform,
depending on four complex parameters and all the powers of the Fourier
transform. This new transform is studied in some Lebesgue spaces. In fact,
taking into account the values of the parameters of the operator, we can
have very different kernels and so, the corresponding operator is studied in
different Lebesgue spaces, accordingly with its kernel.
We begin with the characterization of each operator by its characteristic polynomial. This characterization serves as a basis for the study
of the forthcoming properties. Following this, we present, for each case,
the spectrum of the corresponding operator, necessary and sufficient
conditions for which the operator is invertible, Parseval-type identities and
conditions for which the operator is unitary and an involution of order n.
After this, we contruct new convolutions associated with those operators
and obtain the corresponding factorization identities and some norm
inequalities. By using these new operators and convolutions, we construct
new integral equations and study their solvability. In this sense, we have
equations generated by the studied operators and also a class of equations
of convolution-type depending on multi-dimensional Hermite functions.
Furthermore, we study the solvability of classical integral equations, using
the new operators and convolutions, namely a class of Wiener-Hopf plus
Hankel equations, whose solution is written in terms of a Fourier-type series.
For one case of this generalization of the Fourier transform, that
only depends on the cosine and sine Fourier transforms, we obtain PaleyWiener and Wiener’s Tauberian results, using the associated convolution
and a new translation induced by that convolution. Heisenberg uncertainty
principles for the one-dimensional case and for the multi-dimensional case
are obtained for a particular case of the introduced operator.
At the end, as an application outside of mathematics, we obtain a
new result in signal processing, more properly, in a filtering processing, by
applying one of our new convolutions. Nesta tese, consideramos uma nova generalização da transformação de Fourier, dependente de quatro parâmetros complexos e de todas as potências da transformação de Fourier. Esta nova transformação é estudada em alguns espaços de Lebesgue. De facto, tendo em conta os valores dos parâmetros, podemos ter núcleos muito diferentes e assim, o correspondente operador é estudado em diferentes espaços de Lebesgue, de acordo com o seu núcleo. Começamos com a caracterização de cada operador pelo seu polinómio característico. Esta caracterização serve de base para o estudo das propriedades seguintes. Seguindo isto, apresentamos, para cada caso, o espetro do correspondente operador, condições necessárias e suficientes para as quais o operador é invertível, identidades do tipo de Parseval e condições para as quais o operador é unitário e uma involução de ordem n. Depois disto, construímos novas convoluções associadas àqueles operadores e obtemos as correspondentes identidades de factorização e algumas desigualdades da norma. Usando estes novos operadores e convoluções, construímos novas equações integrais e estudamos a sua solvabilidade. Neste sentido, temos equações geradas pelos operadores estudados e também uma classe de equações do tipo de convolução dependendo de funções de Hermite multidimensionais. Além disso, estudamos a solvabilidade de equações integrais clássicas, usando os novos operadores e convoluções, nomeadamente uma classe de equações de Wiener-Hopf mais Hankel, cuja solução é escrita em termos de uma série do tipo de Fourier. Para um caso desta generalização da transformação de Fourier, que depende apenas das transformações de Fourier do cosseno e do seno, obtemos resultados de Paley-Wiener e resultados Tauberianos de Wiener, usando a convolução associada e uma nova translação induzida por essa convolução. Princípios de incerteza de Heisenberg para os casos unidimensional e multidimensional são obtidos para um caso particular do operador introduzido. No final, como uma aplicação fora da matemática, obtemos um novo resultado em processamento de sinal, mais propriamente, num processo de filtragem, por aplicação de uma das nossas novas convoluções. |
URI: | http://hdl.handle.net/10773/29813 |
Aparece nas coleções: | UA - Teses de doutoramento DMat - Teses de doutoramento |
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