Polinómios de Zernike: estudo das suas propriedades e algumas aplicações

Abstract

O ser humano é dependente de vários sentidos, sendo um dos mais importantes a visão. Porém, também é um dos sentidos no qual se detetam diversas aberrações. Neste sentido, foi necessário evoluir a tecnologia mé¬dica de forma a detetar e corrigir estas mesmas aberrações. Os polinómios de Zernike surgem então como uma das soluções mais eficazes neste passo de desenvolvimento da medicina. Com um excelente desempenho para re-presentar superfícies circulares, os polinómios de Zernike começaram a ser usados para representar modelos do olho e as aberrações do mesmo. Nesta dissertação pretende-se fazer um estudo destes polinómios, bem como as suas propriedades e algumas aplicações. Existe ainda o objetivo de colocar em confronto os Polinómios de Zernike com outro tipo de funções ortogo¬nais, as Funções Circulares de Bessel, avaliando a performance de ambos em diversas representações e ajustes e concluir ainda qual será o melhor em cada representação. Por fim, pretende-se também encontrar uma forma de avaliar modelos ótimos de pontos discretos para modelos de regressão que serão utilizados para determinar o erro quadrático mínimo entre os dados reais e o modelo aproximado de uma expansão truncada dos polinómios de Zernike. Foi ainda desenvolvido algum código no software MATLAB, que se encontra em anexo no final da dissertação.

The human being is dependent on many of its senses, the eyesight being one of the most important. However, it is also one of the senses in which several aberrations are detected. In this regard, it was necessary to evolve medical technology in order to detect and correct those same aberrations. Zernike polynomials emerge as one of the most effective solutions in this step of medical development. With excellent performance to represent circular surfaces, Zernike polynomials began to be used to represent eye models and its aberrations. This dissertation intends to study those polynomials as well as their properties and some applications. There is also the goal of comparing the Zernike Polynomials with another type of orthogonal functions, the Bessel Circular Functions, evaluating the performance of both in various representations and adjustments and conclude which will be the best in each representation. Finally, it is also intended to find a way to evaluate optimal discrete point models for regression models that will be used to determine the minimum squared error between the actual data and the approximate model of a truncated expansion of Zernike polynomials. MATLAB code was developed and it is presented in the Annexe to this dissertation.