Exact and numerical solutions for diffusio-reaction equations with convection term

Abstract

Esta dissertação estuda essencialmente dois problemas: (A) uma classe de equações unidimensionais de reacção-difusão-convecção em meios não uniformes (dependentes do espaço), e (B) um problema elíptico não-linear e paramétrico ligado a fenómenos de capilaridade. A Análise de Perturbação Singular e a dinâmica de Hamilton-Jacobi são utilizadas na obtenção de expressões assimptóticas para a solução (com comportamento de frente) e para a sua velocidade de propagação. Os seguintes três métodos de decomposição, Adomian Decomposition Method (ADM), Decomposition Method based on Infinite Products (DIP), e New Iterative Method (NIM), são apresentados e brevemente comparados. Adicionalmente, condições suficientes para a convergência da solução em série, obtida pelo ADM, e uma aplicação a um problema da Telecomunicações por Fibras Ópticas, envolvendo EDOs não-lineares designadas equações de Raman, são discutidas. Um ponto de vista mais abrangente que unifica os métodos de decomposição referidos é também apresentado. Para subclasses desta EDP são obtidas soluções numa forma explícita, para diferentes tipos de dados e usando uma variante do método de simetrias de Bluman-Cole. Usando Teoria de Pontos Críticos (o teorema usualmente designado mountain pass) e técnicas de truncatura, prova-se a existência de duas soluções não triviais (uma positiva e uma negativa) para o problema elíptico não-linear e paramétrico (B). A existência de uma terceira solução não trivial é demonstrada usando Grupos Críticos e Teoria de Morse.

This thesis studies mainly two problems: (A) a one-dimensional reactiondiffusion- convection equation in a nonuniform media (i.e. with space dependent coefficients), and (B) a nonlinear parametric elliptic problem related with capillary phenomena. Regarding problem (A), Singular Perturbation Analysis and Hamilton-Jacobi dynamics are used to compute asymptotic expressions for a solution (behaving as a travelling wave) and for its wavefront speed. The three decomposition methods, Adomian Decomposition Method (ADM), Decomposition Method based on Infinite Products (DIP) and New Iterative Method (NIM), are presented and briefly compared for this class of PDEs. Additionally, sufficient conditions for the convergence of the ADM series solution and an application to Fiber Optics Communication, involving the nonlinear ODEs known as Raman equations, are given. A general point of view, generalizing the aforementioned decomposition methods, is discussed. The same class of PDEs are studied, from the Lie symmetry point of view, by considering a variant of Bluman-Cole method obtaining explicit solutions for subclasses of such differential equations under several types of data. Using Critical Point Theory (mountain pass theorem) and truncation techniques, the existence of two nontrivial solutions (one positive and one negative) are proved for the nonlinear parametric elliptic problem (B). A nontrivial third solution is also proven by using Critical Groups and Morse Theory.