Besov spaces and the Laplacian on fractal H-sets

Abstract

Nesta tese são estudados espaços de Besov de suavidade generalizada em espaços euclidianos, numa classe de fractais designados conjuntos-h e em estruturas abstractas designadas por espaços-h. Foram obtidas caracterizações e propriedades para estes espaços de funções. Em particular, no caso de espaços de Besov em espaços euclidianos, foram obtidas caracterizações por diferenças e por decomposições em átomos não suaves, foi provada uma propriedade de homogeneidade e foram estudados multiplicadores pontuais. Para espaços de Besov em conjuntos-h foi obtida uma caracterização por decomposições em átomos não suaves e foi construído um operador extensão. Com o recurso a cartas, os resultados obtidos para estes espaços de funções em fractais foram aplicados para definir e trabalhar com espaços de Besov de suavidade generalizada em estruturas abstractas. Nesta tese foi também estudado o laplaciano fractal, considerado a actuar em espaços de Besov de suavidade generalizada em domínios que contêm um conjunto-h fractal. Foram obtidos resultados no contexto de teoria espectral para este operador e foi estudado, à custa deste operador, um problema de Dirichlet fractal no contexto de conjuntos-h.

In this thesis Besov spaces of generalised smoothness on Euclidean spaces, on a class of fractals called h-sets and on abstract structures called h-spaces are studied. Characterisations and properties for these function spaces were obtained. In particular, in the case of Besov spaces on Euclidean spaces, characterisations by differences and non-smooth atomic decompositions were obtained, a homogeneity property was proved and pointwise multipliers were studied. For Besov spaces on h-sets a characterisation by non-smooth atomic decompositions was proved and an extension operator was constructed. Using convenient charts, the results obtained for these function spaces were applied to define and work with Besov spaces of generalised smoothness on abstract structures. In this thesis the fractal Laplacian was also studied, considered acting in Besov spaces of generalised smoothness on domains which contain an h-set. We obtained results for this operator in the context of spectral theory and we applied the results on this operator to study a fractal Dirichlet problem in the context of h-sets.