Bicontactual hypermaps

Abstract

Esta tese dedica-se ao estudo de hipermapas regulares bicontactuais, hipermapas com a propriedade que cada hiperface contacta só com outras duas hiperfaces. Nos anos 70, S. Wilson classificou os mapas bicontactuais e, em 2003, Wilson e Breda d’Azevedo classificaram os hipermapas bicontactuais no caso não-orientável. Quando esta propriedade é transferida para hipermapas origina três tipos de bicontactualidade, atendendo ao modo como as duas hiperfaces aparecem à volta de uma hiperface fixa: edge-twin, vertextwin and alternate (dois deles são o dual um do outro). Um hipermapa topológico é um mergulho celular de um grafo conexo trivalente numa superfície compacta e conexa tal que as células são 3-coloridas. Ou de maneira mais simples, um hipermapa pode ser visto como um mapa bipartido. Um hipermapa orientado regular é um triplo ordenado consistindo num conjunto finito e dois geradores, que são permutações (involuções) do conjunto tal que o grupo gerado por eles, chamado o grupo de monodromia, actua regularmente no conjunto. Nesta tese, damos uma classificação de todos os hipermapas orientados regulares bicontactuais e, para completar, reclassificamos, usando o nosso método algébrico, os hipermapas não-orientáveis bicontactuais.

This thesis is devoted to the study of bicontactual regular hypermaps, hypermaps with the property that each hyperface meets only two others. In the seventies, S. Wilson classified the bicontactual maps and, in 2003, Wilson and Breda d’Azevedo classified the bicontactual non-orientable hypermaps. When this property is transferred for hypermaps it gives rise to three types of bicontactuality, according as the two hyperfaces appear around a fixed hyperface: edge-twin, vertex-twin and alternate (two of which are dual of each other). A topological hypermap is a cellular embedding of a connected trivalent graph into a compact and connected surface such that the cells are 3-colored. Or simply, a hypermap can be seen as a bipartite map. A regular oriented-hypermap is an ordered triple, consisting of a finite set and two generators, which are permutations of the set, such that the group generate by them, called monodromy group, acts regularly on the set. In this thesis, we give a classification of all bicontactual regular orientedhypermaps and, for completion, we reclassify, using our algebraic method, the bicontactual non-orientable hypermaps.