Fractal geometry, oscillation and smoothness of continuous funtions

Abstract

Primeiramente, relacionamos as dimensões superior e inferior de caixa com os espaços de oscilação e desenvolvemos imersões entre os espaços de oscilação e os espaços de Besov. Então, obtemos valores maximais e minimais para as dimensões de caixa e de Hausdorff, sobre todas as funções contínuas e compactamente suportadas em R n, com integrabilidade 0 < p ≤ ∞ e suavidade exacta s > 0. Calculamos também as dimensões de caixa e de Hausdorff para certas funções chirp e do tipo Weierstrass e assim, usando o operador levantamento para testar o comportamento das dimensões em função da suavidade, mostramos que há uma certa incerteza na relação entre suavidade e dimensões de gráficos. Seguidamente, investigamos alguns critérios para decidir quando é que um gráfico de uma função não é um conjunto-d. Além disso, para cada d entre n e n +1, construímos uma função sobre [0,1] n cujo gráfico é um conjunto-d. E na classe das funções reais definidas sobre um conjunto-h1 contido na recta real, provamos a existência de funções cujos gráficos são conjuntos-h, sob condições apropriadas para a função de massa h. Em particular, obtemos os valores maximais para as dimensões de caixa e de Hausdorff para todos os gráficos de funções de Hölder sobre um conjunto-d1 contido na recta real, assim como o valor maximal para a dimensão de Hausdorff para todas as funções de Bs p,q que sejam traços de funções contínuas num tal conjunto-d1, para qualquer 1< p < ∞ e 0< s < d1. Finalmente, redireccionamos o nosso interesse para as aplicações práticas baseadas nas imersões entre os espaços de oscilação e os de Besov, e consideramos o problema geral da detecção de sinal, apresentando uma simulação numérica para sinais do tipo onda e para sinais chirp.

Firstly, we relate upper and lower box dimensions with oscillation spaces and we develop embeddings or inclusions between oscillation spaces and Besov spaces. Then, we obtain maximal and minimal box and Hausdorff dimensions over all continuous real functions compactly supported on R n, with integrability 0 < p ≤ ∞ and exact smoothness s > 0. We also calculate box and Hausdorff dimensions of some chirp and Weierstrass-type functions and then, by using the lifting operator to check the behavior of dimensions against smoothness, we show that there is some uncertainty in the relation between smoothness and dimensions of the graphs. Secondly, we investigate some criteria in order to decide when the graph of a function is not a d-set. Moreover, for each d between n and n +1, we construct a function on [0,1] n the graph of which is a d-set. And in the class of the real functions defined on a h1-set contained in the real line, we prove the existence of functions whose graphs are h-sets, under appropriate assumptions for the mass function h. In particular, we obtain maximal box and Hausdorff dimensions of the graphs of Hölder functions on a d1-set contained in the real line, and the maximal Hausdorff dimension over all functions of Bs p,q which are traces of continuous functions on a d1-set, for any 1< p < ∞ and 0< s < d1. Finally, we switch to practical applications based on the embeddings between oscillation and Besov spaces, and consider the problem of the general detection, presenting a numerical simulation for wave and chirp signals.