Espaços de funções com suavidade generalizada e integrabilidade variável

Abstract

Suavidade generalizada e integrabilidade variável são dois importantes tópicos de investigação na teoria de espaços de funções. Neste trabalho consideramos tanto espaços de Besov com suavidade generalizada como espaços de Lebesgue (e de Sobolev correspondentes) com parâmetro de integração variável. São estudadas no caso geral propriedades de interpolação com parâmetro função de espaços de Besov generalizados, as quais estendem resultados já conhecidos formulados no caso Banach. Além disso, obtemos decomposições em "wavelets" para estes espaços através do uso de técnicas de interpolação apropriadas, que por sua vez são usadas para obter novos resultados de interpolação. Potenciais de Riesz e de Bessel são tratados no âmbito dos espaços de Lebesgue com expoente variável. Em particular, estudamos a inversão do operador potencial de Riesz e apresentamos uma caracterização, tanto para os espaços de potenciais de Riesz como para os espaços de potenciais de Bessel, em termos de convergência de integrais hipersingulares. Também lidamos com desigualdades pontuais no quadro dos espaços de Sobolev com parâmetro de integração variável. Tais desigualdades são usadas para generalizar imersões de Sobolev clássicas ao contexto de expoentes variáveis, no caso em que, para além de condições naturais de regularidade, o expoente toma valores superiores à dimensão do espaço euclidiano. Por outro lado, são dados resultados acerca da limitação de operadores hipersingulares definidos em espaços de Sobolev variáveis em domínios limitados.

Generalized smoothness and variable integrability are two important research topics in the theory of function spaces. In this work, we consider both Besov spaces with generalized smoothness and Lebesgue (and corresponding Sobolev) spaces with variable exponent. Interpolation properties with function parameter of generalized Besov spaces are studied in the general case, which extends already known results stated for the Banach case. Moreover, we obtain wavelet decompositions for these spaces by using suitable interpolation techniques, which in turn are used to get new interpolation results. Riesz and Bessel potentials are considered within the framework of the variable exponent Lebesgue spaces. In particular, we study the inversion of the Riesz potential operator and give a characterization both for the Riesz potential spaces and for the Bessel potential spaces, in terms of convergence of hypersingular integrals. We also deal with pointwise inequalities in the context of the variable Sobolev spaces. Such inequalities are used to extend some classical Sobolev embeddings to the variable exponent setting, in the case when, besides natural assumptions, the exponent takes values greater than the dimension of the Euclidean space. Furthermore, boundedness results for hypersingular integral operators on variable Sobolev spaces over bounded domains are given.