Expansões assimptóticas no estudo da estabilidade de sistemas rapidamente forçados

Abstract

Neste trabalho estuda-se a estabilização de sistemas descritos por equações diferenciais. Usando técnicas do Cálculo Cro- nológico, introduzido na última década de 70 nos trabalhos de A.A. Agrachev e R.V.Gamkrelidze, estuda-se a estabilização da equação de pequenas oscilações de um pêndulo duplo invertido na vizinhança do seu equilíbrio vertical, normalmente instável, quando sujeito a uma oscilação rápida e arbitrária. São consi- derados os casos planares e esfárico. Analisa-se, também, uma classe de sistemas elàsticos descritos por equações diferenciais parciais (hiperbólicas). O exemplo considerado é o de uma corda vibrante sujeita a uma perturbação linear. Estabelecem- se condições para a estabilidade e estabilização assimptótica quando, ao sistema, é aplicado um controlo vibracional. São considerados os casos de presença e ausência de atrito. As técnicas de medianização e do Cálculo Cronológico são esten- didas para o estudo de sistemas descritos por equações às de- rivadas parciais.

Using tools from Chronological Calculus introduced in 1970 by A.A. Agrachev and R.V.Gamkrelidze, in this Ph.D thesis we study stability properties of small oscillations of a double in- verted pendulum near its, usually unstable, upper equilibrium position. We assume that the pendulum is subject an arbitrary fast oscillation. Both, planar and spherical cases are conside- red. We also analyze a class of elastic systems described by a (hy- perbolic) partial diferential equation. Our working example is the equation of a vibrating string subject to linear disturbance. We establish conditions for stabilization and asymptotic stabi- lization by applying a vibrating control to the string. In the first situation studied we assume that system is subject to a damping force; next we consider the system without damping. We extend the tools from averaging and from Chronological Calculus for studying stability of systems described by partial diferential equations.