Leibniz hierarchy

Abstract

A Lógica Algébrica Abstracta estuda o processo pelo qual uma classe de álgebras pode ser associada a uma lógica. Nesta dissertação, analisamos este processo agrupando lógicas partilhando certas propriedades em classes. O conceito central neste estudo é a congruência de Leibniz que assume o papel desempenhado pela equivalência no processo tradicional de Lindenbaum- Tarski. Apresentamos uma hierarquia entre essas classes que é designada por hierarquia de Leibniz, caracterizando as lógicas de cada classe por propriedades meta-lógicas, por exemplo propriedades do operador de Leibniz. Estudamos também a recente abordagem comportamental que usa lógicas multigénero, lógica equacional comportamental e, consequentemente, uma versão comportamental do operador de Leibniz. Neste contexto, apresentamos alguns exemplos, aos quais aplicamos esta nova teoria, capturando alguns fenómenos de algebrização que não era possível formalizar com a abordagem standard.

ABSTRACT: Abstract Algebraic logic studies the process by which a class of algebras can be associated with a logic. In this dissertation, we analyse this process by grouping logics sharing certain properties into classes. The central concept in this study is the Leibniz Congruence that assumes the role developed by the equivalence in the traditional Lindenbaum-Tarski process. We show a hierarchy between these classes, designated by Leibniz hierarchy, by characterizing logics in each class by meta-logical properties, for example properties of the Leibniz operator. We also study a recent behavioral approach which uses many-sorted logics, behavioral equational logic and, consequently, a behavioral version of the Leibniz operator. In this context, we provide some examples, to which we apply this new theory, capturing some phenomena of algebraization that are not possible to formalize using the standard approach.