Pavimentações planares por pentágonos convexos e equiláteros

Abstract

O presente trabalho propõe-se apresentar um estudo sobre os pentágonos convexos e equiláteros que pavimentam o plano, baseado no documento “ Equilateral Convex Pentagons Wich Tile the Plane” da autoria conjunta de M. D. Hirschhorn e D. C. Hunt Um polígono convexo é um protótipo se os polígonos congruentes àquele polígono pavimentarem o plano sem fendas ou sobreposições. Este é o mote do trabalho que apresentamos. Vamos estudar o caso particular dos pentágonos convexos e equiláteros que pavimentam o plano. A existência de vários pentágonos que pavimentam o plano e a variedade de métodos de tentativa de solucionar o problema da pavimentação do plano por pentágonos, tem como consequência, por exemplo, no caso particular das pavimentações planares por pentágonos convexos e equiláteros, a importância de estudar as condições necessária e suficientes para que haja uma pavimentação. O artigo que elegemos para o desenvolvimento do trablaho que se apresenta, foi o já referido “ Equilateral Convex Pentagons Which Tile the Plane”. Nele conseguimos estudar a geometria dos pentágonos convexos e e equiláteros que pavimentam o plano. Neste trabalho fixamo-nos nos pentágonos convexos e equiláteros e construtivamente vamos apresentando condições sobre os seus ângulos e suas consequências, realizando as demonstrações possíveis dos resultados que vão constituindo a base do conhecimento sobre os pentágonos estudados, recorrendo à construção de representações que a suportam, para desta forma construirmos protótipos. Após a apresentação de um método para a determinação dos pentágonos convexos e equiláteros que pavimentam o plano e as suas consequências, são identificados os tipos de pentágonos que pavimentam o plano. Para cada um dos tipos de pentágonos são apresentados exemplos e demonstrado o facto de que um protótipo poder pavimentar o plano de diversas formas.

ABSTRACT: With the present work it is intended to show a study on convex equilateral pentagons which tile the plane, based on the document “ Equilateral Convex Pentagons Which Tile the Plane”, by M. D. Hirschhorn and D. C. Hunt. A convex polygon is a prototype if the congruent polygons to that same polygon tile the plane without gaps or overlaps. This is the theme of the work presented here. We are going to study the particular case of convex equilateral pentagons which tile the plane. The existence of the several pentagons which tile the plane and the variety of methods try the solve the tiling of the plane by pentagons, has a consequence, for example in the particular case of the tiling, by convex equilateral pentagons, the importance of studying the necessary and sufficient conditions in order that there is a tiling. The article selected to development of the present work is the one referred before, “Equilateral Convex Pentagons Which Tile the Plane”. This article made us possible to study the geometry of equilateral convex pentagons which tile the plane. In this work we contemplate the equilateral convex pentagons and, constructively we will present conditions about its angles and its consequences realizing the possible demonstrations of the results which constitute the basis of the knowledge about the studied pentagons. We will recur to the construction of the representations which support theme in a way that we can build prototypes. After the presentation of one method to the determination of equilateral convex pentagons which tile the plane and its consequences the different types of pentagons which tile the plane are identified. To each type of pentagons there will be presented examples and the fact that a prototype can tile the plane in different ways will be demonstrated.