Teoria de Fredholm em espaços de Hilbert

Abstract

No âmbito da Análise Funcional, este trabalho incide no estudo da Teoria de Fredholm de operadores que actuam entre espaços de Hilbert. Adicionalmente são introduzidos, para além da definição de operador Fredholm, alguns outros tipos de operadores (como por exemplo operadores compactos, adjuntos e auto-adjuntos). São consideradas várias proposições que relacionam estes operadores assim como propriedades gerais para cada tipo específico de operador. Neste enquadramento teórico, as proposições a que nos referimos fornecem-nos resultados, todos eles de igual importância, dos quais damos como exemplo: se T é um operador de Fredholm e K é um operador compacto então T+K é um operador de Fredholm e os seus índices de Fredholm coincidem. Neste trabalho é também referida uma das principais conclusões da Teoria de Fredholm, no que diz respeito às equações integrais de segundo grau, quando se mostra que se K é um operador compacto então I-K é um operador de Fredholm com índice de Fredholm nulo. A teoria espectral é também focada neste trabalho uma vez que esta teoria está relacionada com o inverso de certos operadores, as suas propriedades gerais e as suas relações com os operadores originais.

ABSTRACT: In the area of Functional Analysis, this work deals with the Fredholm theory of operators that act on Hilbert spaces. In addition, besides the definition of Fredholm operator, there are some other operators defined in this work (for instance, compact, adjoint and self-adjoint operators). Several propositions which connect these operators are considered as well as general properties of each kind of operators. In this theoretical framework, the referred propositions give us several results, all of the same degree of importance, such as: if T is a Fredholm operator and K is a compact operator, then T+K is a Fredholm operator and their Fredholm indices coincide. This work also shows one of the main Fredholm theory conclusions, concerning the second-kind integral equations, when it is demonstrated that if K is a compact operator then I-K is a Fredholm operator with zero Fredholm index. The spectral theory is also focused in this work since this theory is concerned with certain inverse operators, their general properties, and their relations to the initial operators.