Estabilidade e regularidade de matrizes de Toeplitz

Abstract

A presente dissertação teve por embrião o problema clássico inerente às possíveis soluções de sistemas de equações lineares, designadamente enquanto escrito na correspondente formulação matricial. A resolução de sistemas de equações lineares infinitos da forma Ax=y, onde A é uma matriz infinita, envolve por exemplo questões delicadas de convergência e de estabilidade, dependendo do tipo de matriz associada a A . Tal é o caso quando se aplica o designado método da secção finita para a descoberta de propriedades inerentes ao original sistema infinito via consideração de uma sucessão de sistemas finitos. Na presente dissertação tais questões são abordadas especialmente para matrizes do tipo de Toeplitz e de Hankel. De uma forma mais global, estas matrizes são também consideradas na presente dissertação enquanto operadores lineares actuando entre determinados espaços de Banach. Sob esta abordagem da Teoria de Operadores, especial relevo é dado para a situação dos designados operadores de Toeplitz com símbolos na álgebra de Wiener. São descritas teorias de factorização para várias classes de símbolos que levam a consequentes factorizações de operadores – na sua maioria aplicadas a operadores do tipo de Toeplitz. Adicionalmente, propriedades espectrais e de Fredholm são também abordadas para os operadores/matrizes de Toeplitz.

ABSTRACT: The current dissertation had as origin the classical problem inherent to the possible solution of linear equation’s systems, namely while written in the correspondent matrice’s formulation. The resolution of infinite systems of linear equations like Ax=y, where A is an infinite matrix, involves for instance delicate questions of convergence and stability, depending on the kind of matrix associated to A . This is the case of the finite section’s method, which is used to find the inherent properties of the original infinite system regarding the sequences of finite systems. In the current essay such questions are especially formulated for Toeplitz and Hankel matrices. In a more general way, these matrices are also considered in this essay while linear operators acting between some of Banach spaces. Under this Operator Theory approach, special attention is given to the Toeplitz operators which use symbols in the Wiener algebra. Factorization theories are described for several classes of symbols which lead to the operators factorizations – in its majority applied to Toeplitz like operators. Additionally, spectral and Fredholm properties are also described for the Toeplitz operators or matrices.